Интеграл x^2*sin(3*x) (dx)

Вы ввели

  1               
  /               
 |                
 |   2            
 |  x *sin(3*x) dx
 |                
/                 
0                 

$$\int_{0}^{1} x^{2} \sin{\left (3 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = x^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (3 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2 x$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

2. Используем интегрирование по частям:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   пусть $u{\left (x \right )} = - \frac{2 x}{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \cos{\left (3 x \right )}$ dx.

   Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = - \frac{2}{3}$ dx.

   Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от косинуса есть синус:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \sin{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{1}{3} \sin{\left (3 x \right )}$

   Теперь решаем под-интеграл.

3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int - \frac{2}{9} \sin{\left (3 x \right )}\, dx = - \frac{2}{9} \int \sin{\left (3 x \right )}\, dx$

   1. пусть $u = 3 x$.

      Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

      $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{3} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \cos{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{1}{3} \cos{\left (3 x \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x^{2}}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x^{2}}{3} \cos{\left (3 x \right )} + \frac{2 x}{9} \sin{\left (3 x \right )} + \frac{2}{27} \cos{\left (3 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                            
  /                                            
 |                                             
 |   2                 2    7*cos(3)   2*sin(3)
 |  x *sin(3*x) dx = - -- - -------- + --------
 |                     27      27         9    
/                                              
0                                              

$${{6\,\sin 3-7\,\cos 3}\over{27}}-{{2}\over{27}}$$

Численный ответ

0.213950649057864

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                                    2                        
 |  2                   2*cos(3*x)   x *cos(3*x)   2*x*sin(3*x)
 | x *sin(3*x) dx = C + ---------- - ----------- + ------------
 |                          27            3             9      
/                                                              

$${{6\,x\,\sin \left(3\,x\right)+\left(2-9\,x^2\right)\,\cos \left(3 \,x\right)}\over{27}}$$

Упростить