Интеграл (x-4)/((x-2)*(x-3)) (dx)

Вы ввели

  1                   
  /                   
 |                    
 |       x - 4        
 |  --------------- dx
 |  (x - 2)*(x - 3)   
 |                    
/                     
0                     

$$\int_{0}^{1} \frac{x - 4}{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x - 4}{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)} = \frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x - 3}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{2}{x - 2}\, dx = 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

         1. пусть $u = x - 2$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $2 \log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x - 3}\, dx = - \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

         1. пусть $u = x - 3$.

            Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\log{\left (x - 3 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 3 \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (x - 3 \right )} + 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{x - 4}{\left(x - 3\right) \left(x - 2\right)} = \frac{x}{x^{2} - 5 x + 6} - \frac{4}{x^{2} - 5 x + 6}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x}{x^{2} - 5 x + 6} = - \frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x - 3}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{2}{x - 2}\, dx = - 2 \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

            1. пусть $u = x - 2$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 2 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{3}{x - 3}\, dx = 3 \int \frac{1}{x - 3}\, dx$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $3 \log{\left (x - 3 \right )}$

         Результат есть: $3 \log{\left (x - 3 \right )} - 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{4}{x^{2} - 5 x + 6}\, dx = - 4 \int \frac{1}{x^{2} - 5 x + 6}\, dx$

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 6} = - \frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x - 3}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{x - 2}\, dx = - \int \frac{1}{x - 2}\, dx$

               1. пусть $u = x - 2$.

                  Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\log{\left (x - 2 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (x - 2 \right )}$

            1. пусть $u = x - 3$.

               Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\log{\left (x - 3 \right )}$

            Результат есть: $\log{\left (x - 3 \right )} - \log{\left (x - 2 \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- 4 \log{\left (x - 3 \right )} + 4 \log{\left (x - 2 \right )}$

      Результат есть: $- \log{\left (x - 3 \right )} + 2 \log{\left (x - 2 \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \log{\left (x - 3 \right )} + 2 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \log{\left (x - 3 \right )} + 2 \log{\left (x - 2 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                        
  /                                        
 |                                         
 |       x - 4                             
 |  --------------- dx = -3*log(2) + log(3)
 |  (x - 2)*(x - 3)                        
 |                                         
/                                          
0                                          

$$\log 3-3\,\log 2$$

Численный ответ

-0.980829253011726

Ответ (Неопределённый)

  /                                                    
 |                                                     
 |      x - 4                                          
 | --------------- dx = C - log(-3 + x) + 2*log(-2 + x)
 | (x - 2)*(x - 3)                                     
 |                                                     
/                                                      

$$2\,\log \left(x-2\right)-\log \left(x-3\right)$$

Упростить