Интеграл 2*x/(x^2+9) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |   2*x     
     |  ------ dx
     |   2       
     |  x  + 9   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 9}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |  2*x     
     | ------ dx
     |  2       
     | x  + 9   
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
     2*x         2*x            0     
    ------ = ------------ + ----------
     2        2                  2    
    x  + 9   x  + 0*x + 9   /-x \     
                            |---|  + 1
                            \ 3 /     
    или
      /           
     |            
     |  2*x       
     | ------ dx  
     |  2        =
     | x  + 9     
     |            
    /             
      
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 9   
     |                
    /                 
    В интеграле
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 9   
     |                
    /                 
    сделаем замену
         2
    u = x 
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du = log(9 + u)
     | 9 + u                
     |                      
    /                       
    делаем обратную замену
      /                             
     |                              
     |     2*x              /     2\
     | ------------ dx = log\9 + x /
     |  2                           
     | x  + 0*x + 9                 
     |                              
    /                               
    В интеграле
    0
    сделаем замену
        -x 
    v = ---
         3 
    тогда
    интеграл =
    True
    делаем обратную замену
    True
    Решением будет:
           /     2\
    C + log\9 + x /
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                              
      /                              
     |                               
     |   2*x                         
     |  ------ dx = -log(9) + log(10)
     |   2                           
     |  x  + 9                       
     |                               
    /                                
    0                                
    $$2\,\left({{\log 10}\over{2}}-{{\log 9}\over{2}}\right)$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.105360515657826
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                           
     |                            
     |  2*x               / 2    \
     | ------ dx = C + log\x  + 9/
     |  2                         
     | x  + 9                     
     |                            
    /                             
    $$\log \left(x^2+9\right)$$