Интеграл x^2*dx/(1+x^6) (dx)

Вы ввели

  1          
  /          
 |           
 |     2     
 |    x      
 |  ------ dx
 |       6   
 |  1 + x    
 |           
/            
0            

$$\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{x^{6} + 1}\, dx$$

Подробное решение

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{x^{2}}{x^{6} + 1} = \frac{x^{2} + 1}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3} - \frac{1}{3 x^{2} + 3}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{x^{2} + 1}{3 x^{4} - 3 x^{2} + 3}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} - x^{2} + 1}\, dx$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{x^{2} + 1}{x^{4} - x^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{4} - x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{4} - x^{2} + 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $\frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} - \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

         1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

            Но интеграл

            $- \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} - \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{3}}{12} \log{\left (x^{2} + \sqrt{3} x + 1 \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{2} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

         Результат есть: $\operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3 x^{2} + 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx$

      1. Интеграл $\frac{1}{x^{2} + 1}$ есть $\operatorname{atan}{\left (x \right )}$.

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )}$

   Результат есть: $- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (x \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x - \sqrt{3} \right )} + \frac{1}{3} \operatorname{atan}{\left (2 x + \sqrt{3} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1               
  /               
 |                
 |     2          
 |    x         pi
 |  ------ dx = --
 |       6      12
 |  1 + x         
 |                
/                 
0                 

$${{\pi}\over{12}}$$

Численный ответ

0.261799387799149

Ответ (Неопределённый)

  /                                                                 
 |                                                                  
 |    2                          /  ___      \       /    ___      \
 |   x             atan(x)   atan\\/ 3  + 2*x/   atan\- \/ 3  + 2*x/
 | ------ dx = C - ------- + ----------------- + -------------------
 |      6             3              3                    3         
 | 1 + x                                                            
 |                                                                  
/                                                                   

$${{\arctan x^3}\over{3}}$$

Упростить