Интеграл x*e^(2*x+5) (dx)

  1              
  /              
 |               
 |     2*x + 5   
 |  x*E        dx
 |               
/                
0                

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $e^{2 x + 5} x = x e^{5} e^{2 x}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int x e^{5} e^{2 x}\, dx = e^{5} \int x e^{2 x}\, dx$

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = e^{2 x}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{2 x}}{2}\, dx = \frac{1}{2} \int e^{2 x}\, dx$

      1. пусть $u = 2 x$.

         Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

         $\int e^{u}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int e^{u}\, du = \frac{1}{2} \int e^{u}\, du$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{2 x}}{2}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 x}}{4}$

   Таким образом, результат будет: $\left(\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{e^{2 x}}{4}\right) e^{5}$

3. Теперь упростить:

   $\frac{1}{4} \left(2 x - 1\right) e^{2 x + 5}$

4. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{4} \left(2 x - 1\right) e^{2 x + 5}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{4} \left(2 x - 1\right) e^{2 x + 5}+ \mathrm{constant}$

  1                        
  /                        
 |                   5    7
 |     2*x + 5      e    e 
 |  x*E        dx = -- + --
 |                  4    4 
/                          
0                          

311.261579382759

  /                                        
 |                     /   2*x      2*x\   
 |    2*x + 5          |  e      x*e   |  5
 | x*E        dx = C + |- ---- + ------|*e 
 |                     \   4       2   /   
/