Интеграл dx/(x^2+3*x+3) (dx)
Решение
Вы ввели
[src]
1 / | | 1 | ------------ dx | 2 | x + 3*x + 3 | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 3 x + 3}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
/ | | 1 | ------------ dx | 2 | x + 3*x + 3 | /
Перепишем подинтегральную функцию
1 4
------------ = -----------------------------
2 / 2 \
x + 3*x + 3 |/ ___ \ |
||-2*\/ 3 ___| |
3*||--------*x - \/ 3 | + 1|
\\ 3 / /или
/ | | 1 | ------------ dx | 2 = | x + 3*x + 3 | /
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x - \/ 3 | + 1
| \ 3 /
|
/
---------------------------------
3 В интеграле
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x - \/ 3 | + 1
| \ 3 /
|
/
---------------------------------
3 сделаем замену
___
___ 2*x*\/ 3
v = - \/ 3 - ---------
3 тогда
интеграл =
/
|
| 1
4* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 4*atan(v)
-------------- = ---------
3 3 делаем обратную замену
/
|
| 1
4* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x - \/ 3 | + 1 / ___\
| \ 3 / ___ | ___ 2*x*\/ 3 |
| 2*\/ 3 *atan|\/ 3 + ---------|
/ \ 3 /
--------------------------------- = -------------------------------
3 3 Решением будет:
/ ___\
___ | ___ 2*x*\/ 3 |
2*\/ 3 *atan|\/ 3 + ---------|
\ 3 /
C + -------------------------------
3
График
Ответ
[src]
1 / ___\ / ___ |5*\/ 3 | | ___ 2*\/ 3 *atan|-------| | 1 2*pi*\/ 3 \ 3 / | ------------ dx = - ---------- + --------------------- | 2 9 3 | x + 3*x + 3 | / 0
$${{2\,\arctan \left({{5}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}-{{2
\,\pi}\over{3^{{{3}\over{2}}}}}$$
Численный ответ
[src]
0.219538136543845
Ответ (Неопределённый)
[src]
/ ___\ / ___ | ___ 2*x*\/ 3 | | 2*\/ 3 *atan|\/ 3 + ---------| | 1 \ 3 / | ------------ dx = C + ------------------------------- | 2 3 | x + 3*x + 3 | /
$${{2\,\arctan \left({{2\,x+3}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}
}}$$