Интеграл dx/(x^2+3*x+3) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                
      /                
     |                 
     |       1         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  + 3*x + 3   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2} + 3 x + 3}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |      1         
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 3*x + 3   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
         1                       4              
    ------------ = -----------------------------
     2               /                    2    \
    x  + 3*x + 3     |/     ___          \     |
                     ||-2*\/ 3        ___|     |
                   3*||--------*x - \/ 3 |  + 1|
                     \\   3              /     /
    или
      /                 
     |                  
     |      1           
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  + 3*x + 3     
     |                  
    /                   
      
        /                            
       |                             
       |             1               
    4* | ------------------------- dx
       |                     2       
       | /     ___          \        
       | |-2*\/ 3        ___|        
       | |--------*x - \/ 3 |  + 1   
       | \   3              /        
       |                             
      /                              
    ---------------------------------
                    3                
    В интеграле
        /                            
       |                             
       |             1               
    4* | ------------------------- dx
       |                     2       
       | /     ___          \        
       | |-2*\/ 3        ___|        
       | |--------*x - \/ 3 |  + 1   
       | \   3              /        
       |                             
      /                              
    ---------------------------------
                    3                
    сделаем замену
                        ___
            ___   2*x*\/ 3 
    v = - \/ 3  - ---------
                      3    
    тогда
    интеграл =
        /                     
       |                      
       |   1                  
    4* | ------ dv            
       |      2               
       | 1 + v                
       |                      
      /              4*atan(v)
    -------------- = ---------
          3              3    
    делаем обратную замену
        /                                                              
       |                                                               
       |             1                                                 
    4* | ------------------------- dx                                  
       |                     2                                         
       | /     ___          \                                          
       | |-2*\/ 3        ___|                                          
       | |--------*x - \/ 3 |  + 1                  /              ___\
       | \   3              /               ___     |  ___   2*x*\/ 3 |
       |                                2*\/ 3 *atan|\/ 3  + ---------|
      /                                             \            3    /
    --------------------------------- = -------------------------------
                    3                                  3               
    Решением будет:
                    /              ___\
            ___     |  ___   2*x*\/ 3 |
        2*\/ 3 *atan|\/ 3  + ---------|
                    \            3    /
    C + -------------------------------
                       3               
    График
    Ответ [src]
      1                                              /    ___\
      /                                      ___     |5*\/ 3 |
     |                             ___   2*\/ 3 *atan|-------|
     |       1              2*pi*\/ 3                \   3   /
     |  ------------ dx = - ---------- + ---------------------
     |   2                      9                  3          
     |  x  + 3*x + 3                                          
     |                                                        
    /                                                         
    0                                                         
    $${{2\,\arctan \left({{5}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3}}}-{{2 \,\pi}\over{3^{{{3}\over{2}}}}}$$
    Численный ответ [src]
    0.219538136543845
    Ответ (Неопределённый) [src]
                                         /              ___\
      /                          ___     |  ___   2*x*\/ 3 |
     |                       2*\/ 3 *atan|\/ 3  + ---------|
     |      1                            \            3    /
     | ------------ dx = C + -------------------------------
     |  2                                   3               
     | x  + 3*x + 3                                         
     |                                                      
    /                                                       
    $${{2\,\arctan \left({{2\,x+3}\over{\sqrt{3}}}\right)}\over{\sqrt{3} }}$$