Интеграл 1/(x^2-1) (dx)

  1          
  /          
 |           
 |    1      
 |  ------ dx
 |   2       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0            

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{1}{2 x + 2} + \frac{1}{2 x - 2}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2 x + 2}\, dx = - \frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1}\, dx$

      1. пусть $u = x + 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x + 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{2 x - 2}\, dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                       
  /                       
 |                        
 |    1               pi*I
 |  ------ dx = -oo - ----
 |   2                 2  
 |  x  - 1                
 |                        
/                         
0                         

-22.3920519833869

  /                                        
 |                                         
 |   1             log(-1 + x)   log(1 + x)
 | ------ dx = C + ----------- - ----------
 |  2                   2            2     
 | x  - 1                                  
 |                                         
/