∫ Найти интеграл от y = f(x) = atan(2*x) dx (арктангенс от (2 умножить на х)) - с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Интеграл atan(2*x) (dx)

Препод очень удивится увидев твоё верное решение😉

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |  atan(2*x) dx
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \operatorname{atan}{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть .

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                  
      /                                  
     |                   log(5)          
     |  atan(2*x) dx = - ------ + atan(2)
     |                     4             
    /                                    
    0                                    
    $$-{{\log 5-4\,\arctan 2}\over{4}}$$
    Численный ответ [src]
    0.704789239685565
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                      /       2\              
     |                    log\1 + 4*x /              
     | atan(2*x) dx = C - ------------- + x*atan(2*x)
     |                          4                    
    /                                                
    $${{2\,x\,\arctan \left(2\,x\right)-{{\log \left(4\,x^2+1\right) }\over{2}}}\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: