Интеграл 1/(x^2-5*x+4) (dx)

  1                
  /                
 |                 
 |       1         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 5*x + 4   
 |                 
/                  
0                  

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{x^{2} - 5 x + 4} = - \frac{1}{3 x - 3} + \frac{1}{3 x - 12}$

2. Интегрируем почленно:

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{3 x - 3}\, dx = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

      1. пусть $u = x - 1$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )}$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{1}{3 x - 12}\, dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 4}\, dx$

      1. пусть $u = x - 4$.

         Тогда пусть $du = dx$ и подставим $du$:

         $\int \frac{1}{u}\, du$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\log{\left (x - 4 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (x - 4 \right )}$

   Результат есть: $\frac{1}{3} \log{\left (x - 4 \right )} - \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{1}{3} \log{\left (x - 4 \right )} - \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{1}{3} \log{\left (x - 4 \right )} - \frac{1}{3} \log{\left (x - 1 \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                     
  /                     
 |                      
 |       1              
 |  ------------ dx = oo
 |   2                  
 |  x  - 5*x + 4        
 |                      
/                       
0                       

14.6011209338072

  /                                               
 |                                                
 |      1                log(-1 + x)   log(-4 + x)
 | ------------ dx = C - ----------- + -----------
 |  2                         3             3     
 | x  - 5*x + 4                                   
 |                                                
/