Интеграл x*(e^(-2*x)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     -2*x   
     |  x*E     dx
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} e^{- 2 x} x\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Теперь решаем под-интеграл.

    3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Таким образом, результат будет:

    4. Теперь упростить:

    5. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                       
      /                       
     |                      -2
     |     -2*x      1   3*e  
     |  x*E     dx = - - -----
     |               4     4  
    /                         
    0                         
    $${{1}\over{4\,\left(\log E\right)^2}}-{{2\,\log E+1}\over{4\,E^2\, \left(\log E\right)^2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.14849853757254
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                
     |                   -2*x      -2*x
     |    -2*x          e       x*e    
     | x*E     dx = C - ----- - -------
     |                    4        2   
    /                                  
    $$-{{\left(2\,\log E\,x+1\right)\,e^ {- 2\,\log E\,x }}\over{4\, \left(\log E\right)^2}}$$