Интеграл x/(x^2-2*x+2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                
      /                
     |                 
     |       x         
     |  ------------ dx
     |   2             
     |  x  - 2*x + 2   
     |                 
    /                  
    0                  
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2} - 2 x + 2}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /               
     |                
     |      x         
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  - 2*x + 2   
     |                
    /                 
    Перепишем подинтегральную функцию
                   /  2*x - 2   \                
                   |------------|                
                   | 2          |                
         x         \x  - 2*x + 2/         1      
    ------------ = -------------- + -------------
     2                   2                  2    
    x  - 2*x + 2                    (-x + 1)  + 1
    или
      /                 
     |                  
     |      x           
     | ------------ dx  
     |  2              =
     | x  - 2*x + 2     
     |                  
    /                   
      
      /                                     
     |                                      
     |   2*x - 2                            
     | ------------ dx                      
     |  2                                   
     | x  - 2*x + 2        /                
     |                    |                 
    /                     |       1         
    ------------------ +  | ------------- dx
            2             |         2       
                          | (-x + 1)  + 1   
                          |                 
                         /                  
    В интеграле
      /               
     |                
     |   2*x - 2      
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  - 2*x + 2   
     |                
    /                 
    ------------------
            2         
    сделаем замену
         2      
    u = x  - 2*x
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du             
     | 2 + u                
     |                      
    /             log(2 + u)
    ----------- = ----------
         2            2     
    делаем обратную замену
      /                                   
     |                                    
     |   2*x - 2                          
     | ------------ dx                    
     |  2                                 
     | x  - 2*x + 2                       
     |                      /     2      \
    /                    log\2 + x  - 2*x/
    ------------------ = -----------------
            2                    2        
    В интеграле
      /                
     |                 
     |       1         
     | ------------- dx
     |         2       
     | (-x + 1)  + 1   
     |                 
    /                  
    сделаем замену
    v = 1 - x
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv = atan(v)
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /                     
    делаем обратную замену
      /                               
     |                                
     |       1                        
     | ------------- dx = atan(-1 + x)
     |         2                      
     | (-x + 1)  + 1                  
     |                                
    /                                 
    Решением будет:
           /     2      \               
        log\2 + x  - 2*x/               
    C + ----------------- + atan(-1 + x)
                2                       
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                
      /                                
     |                                 
     |       x              log(2)   pi
     |  ------------ dx = - ------ + --
     |   2                    2      4 
     |  x  - 2*x + 2                   
     |                                 
    /                                  
    0                                  
    $${{\pi}\over{4}}-{{\log 2}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.438824573117476
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                      
     |                          /     2      \               
     |      x                log\2 + x  - 2*x/               
     | ------------ dx = C + ----------------- + atan(-1 + x)
     |  2                            2                       
     | x  - 2*x + 2                                          
     |                                                       
    /                                                        
    $${{\log \left(x^2-2\,x+2\right)}\over{2}}+\arctan \left({{2\,x-2 }\over{2}}\right)$$