Интеграл sin(x/2)^(4) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1           
      /           
     |            
     |     4/x\   
     |  sin |-| dx
     |      \2/   
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \sin^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Перепишите подынтегральное выражение:

      4. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Перепишите подынтегральное выражение:

      3. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл от косинуса есть синус:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

        Результат есть:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                          
      /                                                          
     |                                            3              
     |     4/x\      3   3*cos(1/2)*sin(1/2)   sin (1/2)*cos(1/2)
     |  sin |-| dx = - - ------------------- - ------------------
     |      \2/      8            4                    2         
     |                                                           
    /                                                            
    0                                                            
    $${{\sin 2-8\,\sin 1+6}\over{16}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.0110955967726569
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                        
     |                                         
     |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
     | sin |-| dx = C - ------ + -------- + ---
     |     \2/            2         16       8 
     |                                         
    /                                          
    $${{{{\sin \left(2\,x\right)}\over{2}}+x}\over{8}}-{{\sin x}\over{2}} +{{x}\over{4}}$$