Интеграл 1/(t^2+4) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dt
     |   2       
     |  t  + 4   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{t^{2} + 4}\, dt$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   1      
     | ------ dt
     |  2       
     | t  + 4   
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
      1            1       
    ------ = --------------
     2         /     2    \
    t  + 4     |/-t \     |
             4*||---|  + 1|
               \\ 2 /     /
    или
      /           
     |            
     |   1        
     | ------ dt  
     |  2        =
     | t  + 4     
     |            
    /             
      
      /             
     |              
     |     1        
     | ---------- dt
     |      2       
     | /-t \        
     | |---|  + 1   
     | \ 2 /        
     |              
    /               
    ----------------
           4        
    В интеграле
      /             
     |              
     |     1        
     | ---------- dt
     |      2       
     | /-t \        
     | |---|  + 1   
     | \ 2 /        
     |              
    /               
    ----------------
           4        
    сделаем замену
        -t 
    v = ---
         2 
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv          
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /              atan(v)
    ------------ = -------
         4            4   
    делаем обратную замену
      /                       
     |                        
     |     1                  
     | ---------- dt          
     |      2                 
     | /-t \                  
     | |---|  + 1             
     | \ 2 /               /t\
     |                 atan|-|
    /                      \2/
    ---------------- = -------
           4              2   
    Решением будет:
            /t\
        atan|-|
            \2/
    C + -------
           2   
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                      
      /                      
     |                       
     |    1         atan(1/2)
     |  ------ dt = ---------
     |   2              2    
     |  t  + 4               
     |                       
    /                        
    0                        
    $${{\arctan \left({{1}\over{2}}\right)}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.231823804500403
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                    /t\
     |                 atan|-|
     |   1                 \2/
     | ------ dt = C + -------
     |  2                 2   
     | t  + 4                 
     |                        
    /                         
    $${{\arctan \left({{t}\over{2}}\right)}\over{2}}$$