Интеграл exp(-x)*cos(x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1              
      /              
     |               
     |   -x          
     |  e  *cos(x) dx
     |               
    /                
    0                
    $$\int_{0}^{1} e^{- x} \cos{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

              1. Для подинтегрального выражения :

                пусть и пусть .

                Затем .

              2. Для подинтегрального выражения :

                пусть и пусть .

                Затем .

              3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

                Поэтому,

            Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям, отметим, что в конечном итоге подынтегральное выражение повторяется.

        1. Для подинтегрального выражения :

          пусть и пусть .

          Затем .

        2. Для подинтегрального выражения :

          пусть и пусть .

          Затем .

        3. Обратите внимание, что подынтегральное выражение повторилось, поэтому переместим его в сторону:

          Поэтому,

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                            
      /                                            
     |                       -1                  -1
     |   -x             1   e  *sin(1)   cos(1)*e  
     |  e  *cos(x) dx = - + ---------- - ----------
     |                  2       2            2     
    /                                              
    0                                              
    $${{e^ {- 1 }\,\left(\sin 1-\cos 1\right)}\over{2}}+{{1}\over{2}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.55539688265335
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                           
     |                      -x                  -x
     |  -x                 e  *sin(x)   cos(x)*e  
     | e  *cos(x) dx = C + ---------- - ----------
     |                         2            2     
    /                                             
    $${{e^ {- x }\,\left(\sin x-\cos x\right)}\over{2}}$$