Интеграл 1/(sin(x)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1          
      /          
     |           
     |    1      
     |  ------ dx
     |  sin(x)   
     |           
    /            
    0            
    $$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /         
     |          
     |   1      
     | ------ dx
     | sin(x)   
     |          
    /           
    Подинтегральная функция
      1   
    ------
    sin(x)
    Домножим числитель и знаменатель на
    sin(x)
    получим
      1       sin(x)
    ------ = -------
    sin(x)      2   
             sin (x)
    Т.к.
    sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
    то
       2             2   
    sin (x) = 1 - cos (x)
    преобразуем знаменатель
     sin(x)      sin(x)  
    ------- = -----------
       2             2   
    sin (x)   1 - cos (x)
    сделаем замену
    u = cos(x)
    тогда интеграл
      /                
     |                 
     |    sin(x)       
     | ----------- dx  
     |        2       =
     | 1 - cos (x)     
     |                 
    /                  
      
      /                
     |                 
     |    sin(x)       
     | ----------- dx  
     |        2       =
     | 1 - cos (x)     
     |                 
    /                  
      
    Т.к. du = -dx*sin(x)
      /         
     |          
     |  -1      
     | ------ du
     |      2   
     | 1 - u    
     |          
    /           
    Перепишем подинтегральную функцию
              /  1       1  \ 
             -|----- + -----| 
     -1       \1 - u   1 + u/ 
    ------ = -----------------
         2           2        
    1 - u                     
    тогда
                       /             /          
                      |             |           
                      |   1         |   1       
                      | ----- du    | ----- du  
      /               | 1 + u       | 1 - u     
     |                |             |           
     |  -1           /             /           =
     | ------ du = - ----------- - -----------  
     |      2             2             2       
     | 1 - u                                    
     |                                          
    /                                           
      
    = log(-1 + u)/2 - log(1 + u)/2
    делаем обратную замену
    u = cos(x)
    Ответ
      /                                                   
     |                                                    
     |   1         log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))     
     | ------ dx = ---------------- - --------------- + C0
     | sin(x)             2                  2            
     |                                                    
    /                                                     
    где C0 - это постоянная, не зависящая от x
    График
    Ответ [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |    1              pi*I
     |  ------ dx = oo + ----
     |  sin(x)            2  
     |                       
    /                        
    0                        
    $${\it \%a}$$
    Численный ответ [src]
    44.1790108686112
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                  
     |                                                   
     |   1             log(-1 + cos(x))   log(1 + cos(x))
     | ------ dx = C + ---------------- - ---------------
     | sin(x)                 2                  2       
     |                                                   
    /                                                    
    $${{\log \left(\cos x-1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\cos x+1\right) }\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: