Интеграл (2*atan(x)-x)*e^(-log(1+x^2)) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                                 
      /                                 
     |                                  
     |                       /     2\   
     |                   -log\1 + x /   
     |  (2*atan(x) - x)*E             dx
     |                                  
    /                                   
    0                                   
    $$\int_{0}^{1} e^{- \log{\left (x^{2} + 1 \right )}} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть .

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл есть :

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть .

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл есть :

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                  
      /                                                  
     |                                                   
     |                       /     2\                   2
     |                   -log\1 + x /        log(2)   pi 
     |  (2*atan(x) - x)*E             dx = - ------ + ---
     |                                         2       16
    /                                                    
    0                                                    
    $$\int_{0}^{1} e^{- \log{\left (x^{2} + 1 \right )}} \left(- x + 2 \operatorname{atan}{\left (x \right )}\right)\, dx = - \frac{1}{2} \log{\left (2 \right )} + \frac{\pi^{2}}{16}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.270276684788112
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                             
     |                                                              
     |                      /     2\                        /     2\
     |                  -log\1 + x /              2      log\1 + x /
     | (2*atan(x) - x)*E             dx = C + atan (x) - -----------
     |                                                        2     
    /                                                               
    $$2\,\int {e^ {- \log E\,\log \left(x^2+1\right) }\,\arctan x}{\;dx}+ {{\left(x^2+1\right)\,e^ {- \log E\,\log \left(x^2+1\right) }}\over{ 2\,\log E-2}}$$