Интеграл r*sqrt(1-r^2) (dx)

Вы ввели

  1                 
  /                 
 |                  
 |       ________   
 |      /      2    
 |  r*\/  1 - r   dr
 |                  
/                   
0                   

$$\int_{0}^{1} r \sqrt{- r^{2} + 1}\, dr$$

Подробное решение

1. пусть $u = - r^{2} + 1$.

   Тогда пусть $du = - 2 r dr$ и подставим $- \frac{du}{2}$:

   $\int \sqrt{u}\, du$

   1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{1}{2} \int \sqrt{u}\, du$

      1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{\frac{3}{2}}}{3}$

   Если сейчас заменить $u$ ещё в:

   $- \frac{1}{3} \left(- r^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{1}{3} \left(- r^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{3} \left(- r^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                       
  /                       
 |                        
 |       ________         
 |      /      2          
 |  r*\/  1 - r   dr = 1/3
 |                        
/                         
0                         

$${{1}\over{3}}$$

Численный ответ

0.333333333333333

Ответ (Неопределённый)

  /                                  
 |                                3/2
 |      ________          /     2\   
 |     /      2           \1 - r /   
 | r*\/  1 - r   dr = C - -----------
 |                             3     
/                                    

$$-{{\left(1-r^2\right)^{{{3}\over{2}}}}\over{3}}$$

Упростить