Интеграл sin(x)^(6) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     6      
     |  sin (x) dx
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \sin^{6}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Перепишите подынтегральное выражение:

    3. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

          Метод #1

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интегрируем почленно:

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл есть :

                Таким образом, результат будет:

              1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

              Результат есть:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Метод #2

          1. Перепишите подынтегральное выражение:

          2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл есть :

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. Перепишите подынтегральное выражение:

        2. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

      Результат есть:

    4. Теперь упростить:

    5. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                                                      
      /                                                                      
     |                                           3                5          
     |     6         5    5*cos(1)*sin(1)   5*sin (1)*cos(1)   sin (1)*cos(1)
     |  sin (x) dx = -- - --------------- - ---------------- - --------------
     |               16          16                24                6       
    /                                                                        
    0                                                                        
    $${{9\,\sin 4+4\,\sin ^32-48\,\sin 2+60}\over{192}}$$
    Численный ответ [src]
    0.0653635876732911
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                        
     |                                3                        
     |    6             sin(2*x)   sin (2*x)   3*sin(4*x)   5*x
     | sin (x) dx = C - -------- + --------- + ---------- + ---
     |                     4           48          64        16
    /                                                          
    $${{{{3\,\left({{\sin \left(4\,x\right)}\over{2}}+2\,x\right)}\over{ 16}}-{{\sin \left(2\,x\right)-{{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}} }\over{8}}-{{3\,\sin \left(2\,x\right)}\over{8}}+{{x}\over{4}} }\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: