Интеграл (cos(2*x))^3 (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1             
      /             
     |              
     |     3        
     |  cos (2*x) dx
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

    2. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл есть :

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Результат есть:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                
      /                                
     |                             3   
     |     3           sin(2)   sin (2)
     |  cos (2*x) dx = ------ - -------
     |                   2         6   
    /                                  
    0                                  
    $$-{{\sin ^32-3\,\sin 2}\over{6}}$$
    Численный ответ [src]
    0.329344222634675
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                       
     |                                  3     
     |    3               sin(2*x)   sin (2*x)
     | cos (2*x) dx = C + -------- - ---------
     |                       2           6    
    /                                         
    $${{\sin \left(2\,x\right)-{{\sin ^3\left(2\,x\right)}\over{3}} }\over{2}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: