Интеграл (2*x^3-sqrt(x)+4)/x^2 (dx)

Вы ввели

  1                    
  /                    
 |                     
 |     3     ___       
 |  2*x  - \/ x  + 4   
 |  ---------------- dx
 |          2          
 |         x           
 |                     
/                      
0                      

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} \left(- \sqrt{x} + 2 x^{3} + 4\right)\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = - \sqrt{x}$.

      Тогда пусть $du = - \frac{dx}{2 \sqrt{x}}$ и подставим $du$:

      $\int \frac{1}{u^{3}} \left(4 u^{6} + 2 u + 8\right)\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{u^{3}} \left(4 u^{6} + 2 u + 8\right) = 4 u^{3} + \frac{2}{u^{2}} + \frac{8}{u^{3}}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 4 u^{3}\, du = 4 \int u^{3}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Таким образом, результат будет: $u^{4}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{2}{u}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{8}{u^{3}}\, du = 8 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{u^{2}}$

         Результат есть: $u^{4} - \frac{2}{u} - \frac{4}{u^{2}}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(- \sqrt{x} + 2 x^{3} + 4\right) = 2 x + \frac{4}{x^{2}} - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $x^{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{4}{x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{4}{x}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}\, dx = - \frac{2}{\sqrt{x}}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{2}{\sqrt{x}}$

      Результат есть: $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                         
  /                         
 |                          
 |     3     ___            
 |  2*x  - \/ x  + 4        
 |  ---------------- dx = oo
 |          2               
 |         x                
 |                          
/                           
0                           

$${\it \%a}$$

Численный ответ

5.51729471104794e+19

Ответ (Неопределённый)

  /                                        
 |                                         
 |    3     ___                            
 | 2*x  - \/ x  + 4           2   4     2  
 | ---------------- dx = C + x  - - + -----
 |         2                      x     ___
 |        x                           \/ x 
 |                                         
/                                          

$$\int \frac{1}{x^{2}} \left(- \sqrt{x} + 2 x^{3} + 4\right)\, dx = C + x^{2} - \frac{4}{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$$

Упростить