Интеграл (2*x-1)*sin(4*x) (dx)

Вы ввели

  1                      
  /                      
 |                       
 |  (2*x - 1)*sin(4*x) dx
 |                       
/                        
0                        

$$\int_{0}^{1} \left(2 x - 1\right) \sin{\left (4 x \right )}\, dx$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 2 x$.

      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u}{2} \sin{\left (2 u \right )} - \frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}\, du$

      1. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{u}{2} \sin{\left (2 u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int u \sin{\left (2 u \right )}\, du$

            1. Используем интегрирование по частям:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               пусть $u{\left (u \right )} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (u \right )} = \sin{\left (2 u \right )}$ dx.

               Затем $\operatorname{du}{\left (u \right )} = 1$ dx.

               Чтобы найти $v{\left (u \right )}$:

               1. пусть $u = 2 u$.

                  Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                        $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}$

               Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (2 u \right )}\, du$

               1. пусть $u = 2 u$.

                  Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                     1. Интеграл от косинуса есть синус:

                        $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \sin{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \sin{\left (2 u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{u}{4} \cos{\left (2 u \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (2 u \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{2} \sin{\left (2 u \right )}\, du = - \frac{1}{2} \int \sin{\left (2 u \right )}\, du$

            1. пусть $u = 2 u$.

               Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{2} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{2} \cos{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{2} \cos{\left (2 u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \cos{\left (2 u \right )}$

         Результат есть: $- \frac{u}{4} \cos{\left (2 u \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (2 u \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (2 u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{x}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left (x \right )} = 2 x - 1$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (4 x \right )}$ dx.

      Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 2$ dx.

      Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $- \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{2} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = - \frac{1}{2} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(2 x - 1\right) \sin{\left (4 x \right )} = 2 x \sin{\left (4 x \right )} - \sin{\left (4 x \right )}$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 2 x \sin{\left (4 x \right )}\, dx = 2 \int x \sin{\left (4 x \right )}\, dx$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left (x \right )} = x$ и пусть $\operatorname{dv}{\left (x \right )} = \sin{\left (4 x \right )}$ dx.

            Затем $\operatorname{du}{\left (x \right )} = 1$ dx.

            Чтобы найти $v{\left (x \right )}$:

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                     $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $- \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}\, dx = - \frac{1}{4} \int \cos{\left (4 x \right )}\, dx$

            1. пусть $u = 4 x$.

               Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

               $\int \cos{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \cos{\left (u \right )}\, du$

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                     $\int \cos{\left (u \right )}\, du = \sin{\left (u \right )}$

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \sin{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{4} \sin{\left (4 x \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{16} \sin{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{x}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int - \sin{\left (4 x \right )}\, dx = - \int \sin{\left (4 x \right )}\, dx$

         1. пусть $u = 4 x$.

            Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

            $\int \sin{\left (u \right )}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \sin{\left (u \right )}\, du = \frac{1}{4} \int \sin{\left (u \right )}\, du$

               1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  $\int \sin{\left (u \right )}\, du = - \cos{\left (u \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \frac{1}{4} \cos{\left (u \right )}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $- \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

      Результат есть: $- \frac{x}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}$

2. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{x}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$- \frac{x}{2} \cos{\left (4 x \right )} + \frac{1}{8} \sin{\left (4 x \right )} + \frac{1}{4} \cos{\left (4 x \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                              
  /                                              
 |                            1   cos(4)   sin(4)
 |  (2*x - 1)*sin(4*x) dx = - - - ------ + ------
 |                            4     4        8   
/                                                
0                                                

$${{\sin 4-2\,\cos 4}\over{8}}-{{1}\over{4}}$$

Численный ответ

-0.181189406697588

Ответ (Неопределённый)

  /                                                            
 |                             cos(4*x)   sin(4*x)   x*cos(4*x)
 | (2*x - 1)*sin(4*x) dx = C + -------- + -------- - ----------
 |                                4          8           2     
/                                                              

$${{{{\sin \left(4\,x\right)-4\,x\,\cos \left(4\,x\right)}\over{2}}+ \cos \left(4\,x\right)}\over{4}}$$

Упростить