Интеграл (2*x-1)*sin(4*x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |  (2*x - 1)*sin(4*x) dx
     |                       
    /                        
    0                        
    $$\int_{0}^{1} \left(2 x - 1\right) \sin{\left (4 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Используем интегрирование по частям:

              пусть и пусть dx.

              Затем dx.

              Чтобы найти :

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Теперь решаем под-интеграл.

            2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. пусть .

                Тогда пусть и подставим :

                1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  1. Интеграл от косинуса есть синус:

                  Таким образом, результат будет:

                Если сейчас заменить ещё в:

              Таким образом, результат будет:

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Метод #3

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. пусть .

            Тогда пусть и подставим :

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              Таким образом, результат будет:

            Если сейчас заменить ещё в:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                              
      /                                              
     |                            1   cos(4)   sin(4)
     |  (2*x - 1)*sin(4*x) dx = - - - ------ + ------
     |                            4     4        8   
    /                                                
    0                                                
    $${{\sin 4-2\,\cos 4}\over{8}}-{{1}\over{4}}$$
    Численный ответ [src]
    -0.181189406697588
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                            
     |                             cos(4*x)   sin(4*x)   x*cos(4*x)
     | (2*x - 1)*sin(4*x) dx = C + -------- + -------- - ----------
     |                                4          8           2     
    /                                                              
    $${{{{\sin \left(4\,x\right)-4\,x\,\cos \left(4\,x\right)}\over{2}}+ \cos \left(4\,x\right)}\over{4}}$$