Интеграл 2*x/(1+x^2)^1 (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1             
      /             
     |              
     |     2*x      
     |  --------- dx
     |          1   
     |  /     2\    
     |  \1 + x /    
     |              
    /               
    0               
    $$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{1}}\, dx$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дан интеграл:
      /            
     |             
     |    2*x      
     | --------- dx
     |         1   
     | /     2\    
     | \1 + x /    
     |             
    /              
    Перепишем подинтегральную функцию
       2*x          2*x            0    
    --------- = ------------ + ---------
            1    2                 2    
    /     2\    x  + 0*x + 1   (-x)  + 1
    \1 + x /                            
    или
      /              
     |               
     |    2*x        
     | --------- dx  
     |         1    =
     | /     2\      
     | \1 + x /      
     |               
    /                
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 1   
     |                
    /                 
    В интеграле
      /               
     |                
     |     2*x        
     | ------------ dx
     |  2             
     | x  + 0*x + 1   
     |                
    /                 
    сделаем замену
         2
    u = x 
    тогда
    интеграл =
      /                     
     |                      
     |   1                  
     | ----- du = log(1 + u)
     | 1 + u                
     |                      
    /                       
    делаем обратную замену
      /                             
     |                              
     |     2*x              /     2\
     | ------------ dx = log\1 + x /
     |  2                           
     | x  + 0*x + 1                 
     |                              
    /                               
    В интеграле
    0
    сделаем замену
    v = -x
    тогда
    интеграл =
    True
    делаем обратную замену
    True
    Решением будет:
           /     2\
    C + log\1 + x /
    График
    Ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      1                      
      /                      
     |                       
     |     2*x               
     |  --------- dx = log(2)
     |          1            
     |  /     2\             
     |  \1 + x /             
     |                       
    /                        
    0                        
    $$\log 2$$
    Численный ответ
    [pretty]
    [text]
    0.693147180559945
    Ответ (Неопределённый)
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /                                 
     |                                  
     |    2*x                /    1    \
     | --------- dx = C - log|---------|
     |         1             |        1|
     | /     2\              |/     2\ |
     | \1 + x /              \\1 + x / /
     |                                  
    /                                   
    $$\log \left(x^2+1\right)$$