Интеграл 1/((6*x^2-5*x+1)*log(3/4)) (dx)

  1                             
  /                             
 |                              
 |              1               
 |  ------------------------- dx
 |  /   2          \            
 |  \6*x  - 5*x + 1/*log(3/4)   
 |                              
/                               
0                               

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(6 x^{2} - 5 x + 1\right) \log{\left (\frac{3}{4} \right )}} = - \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right) \left(- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}\right)}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right) \left(- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}\right)}\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right)}\, dx}{- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}}$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right)} = - \frac{3}{3 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$

         2. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{3 x - 1}\, dx = - 3 \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = 3 x - 1$.

                  Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (3 x - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = 2 x - 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\log{\left (2 x - 1 \right )}$

            Результат есть: $\log{\left (2 x - 1 \right )} - \log{\left (3 x - 1 \right )}$

         Метод #2

         1. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right)} = \frac{1}{6 x^{2} - 5 x + 1}$

         2. Перепишите подынтегральное выражение:

            $\frac{1}{6 x^{2} - 5 x + 1} = - \frac{3}{3 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$

         3. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int - \frac{3}{3 x - 1}\, dx = - 3 \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = 3 x - 1$.

                  Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $- \log{\left (3 x - 1 \right )}$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

               1. пусть $u = 2 x - 1$.

                  Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

                  $\int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                     1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                     Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

                  Если сейчас заменить $u$ ещё в:

                  $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

               Таким образом, результат будет: $\log{\left (2 x - 1 \right )}$

            Результат есть: $\log{\left (2 x - 1 \right )} - \log{\left (3 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left (2 x - 1 \right )} - \log{\left (3 x - 1 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{\left(6 x^{2} - 5 x + 1\right) \log{\left (\frac{3}{4} \right )}} = \frac{1}{- 12 x^{2} \log{\left (2 \right )} + 6 x^{2} \log{\left (3 \right )} - 5 x \log{\left (3 \right )} + 10 x \log{\left (2 \right )} - 2 \log{\left (2 \right )} + \log{\left (3 \right )}}$

   2. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\frac{1}{- 12 x^{2} \log{\left (2 \right )} + 6 x^{2} \log{\left (3 \right )} - 5 x \log{\left (3 \right )} + 10 x \log{\left (2 \right )} - 2 \log{\left (2 \right )} + \log{\left (3 \right )}} = - \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right) \left(- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}\right)}$

   3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int - \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right) \left(- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}\right)}\, dx = - \frac{\int \frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right)}\, dx}{- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}}$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{1}{\left(2 x - 1\right) \left(3 x - 1\right)} = - \frac{3}{3 x - 1} + \frac{2}{2 x - 1}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int - \frac{3}{3 x - 1}\, dx = - 3 \int \frac{1}{3 x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = 3 x - 1$.

               Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{3} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{3} \log{\left (3 x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $- \log{\left (3 x - 1 \right )}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{2}{2 x - 1}\, dx = 2 \int \frac{1}{2 x - 1}\, dx$

            1. пусть $u = 2 x - 1$.

               Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{1}{u}\, du$

               1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                  $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}\, du$

                  1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left (u \right )}$.

                  Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \log{\left (u \right )}$

               Если сейчас заменить $u$ ещё в:

               $\frac{1}{2} \log{\left (2 x - 1 \right )}$

            Таким образом, результат будет: $\log{\left (2 x - 1 \right )}$

         Результат есть: $\log{\left (2 x - 1 \right )} - \log{\left (3 x - 1 \right )}$

      Таким образом, результат будет: $- \frac{\log{\left (2 x - 1 \right )} - \log{\left (3 x - 1 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + 2 \log{\left (2 \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{- \log{\left (2 x - 1 \right )} + \log{\left (3 x - 1 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (4 \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{- \log{\left (2 x - 1 \right )} + \log{\left (3 x - 1 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (4 \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{- \log{\left (2 x - 1 \right )} + \log{\left (3 x - 1 \right )}}{- \log{\left (3 \right )} + \log{\left (4 \right )}}+ \mathrm{constant}$

                                      /                    log(3)   log(2)            \      /                  log(3)   log(2)            \      /                    log(3)   log(2)            \      /                  log(3)   log(2)            \
                                      |                  - ------ + ------            |      |                - ------ + ------            |      |                  - ------ + ------            |      |                - ------ + ------            |
                                      |  5                   12       6               |      |7                   12       6               |      |  5                   12       6               |      |7                   12       6               |
  1                                log|- -- - ----------------------------------------|   log|-- + ----------------------------------------|   log|- -- + ----------------------------------------|   log|-- - ----------------------------------------|
  /                                   |  12      _____________________________________|      |12      _____________________________________|      |  12      _____________________________________|      |12      _____________________________________|
 |                                    |         /    2         / log(16)\        2    |      |       /    2         / log(16)\        2    |      |         /    2         / log(16)\        2    |      |       /    2         / log(16)\        2    |
 |              1                     \       \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2) /      \     \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2) /      \       \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2) /      \     \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2) /
 |  ------------------------- dx = ---------------------------------------------------- + -------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------- - --------------------------------------------------
 |  /   2          \                        _____________________________________                 _____________________________________                 _____________________________________                 _____________________________________     
 |  \6*x  - 5*x + 1/*log(3/4)              /    2         / log(16)\        2                    /    2         / log(16)\        2                    /    2         / log(16)\        2                    /    2         / log(16)\        2         
 |                                       \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2)               \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2)               \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2)               \/  log (3) - log\3       / + 4*log (2)      
/                                                                                                                                                                                                                                                       
0                                                                                                                                                                                                                                                       

  /                                                                 
 |                                                                  
 |             1                      -log(-1 + 3*x) + log(-1 + 2*x)
 | ------------------------- dx = C - ------------------------------
 | /   2          \                         -log(3) + 2*log(2)      
 | \6*x  - 5*x + 1/*log(3/4)                                        
 |                                                                  
/