Интеграл x*exp(-x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1         
      /         
     |          
     |     -x   
     |  x*e   dx
     |          
    /           
    0           
    $$\int_{0}^{1} x e^{- x}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Используем интегрирование по частям:

          пусть и пусть dx.

          Затем dx.

          Чтобы найти :

          1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

          Теперь решаем под-интеграл.

        2. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                     
      /                     
     |                      
     |     -x             -1
     |  x*e   dx = 1 - 2*e  
     |                      
    /                       
    0                       
    $$1-2\,e^ {- 1 }$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.264241117657115
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                          
     |                           
     |    -x           -x      -x
     | x*e   dx = C - e   - x*e  
     |                           
    /                            
    $$\left(-x-1\right)\,e^ {- x }$$