Интеграл 1/(sqrt(7-5*x^2)) (dx)

  1                 
  /                 
 |                  
 |        1         
 |  ------------- dx
 |     __________   
 |    /        2    
 |  \/  7 - 5*x     
 |                  
/                   
0                   

1. Перепишите подынтегральное выражение:

   $\frac{1}{\sqrt{- 5 x^{2} + 7}} = \frac{1}{\sqrt{- 5 x^{2} + 7}}$

2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{1}{\sqrt{- 5 x^{2} + 7}}\, dx = \frac{\sqrt{7}}{7} \int \frac{1}{\sqrt{- \frac{5 x^{2}}{7} + 1}}\, dx$

   1. пусть $u = \frac{\sqrt{35} x}{7}$.

      Тогда пусть $du = \frac{\sqrt{35} dx}{7}$ и подставим $\frac{\sqrt{35} du}{5}$:

      $\int \frac{\sqrt{35}}{5 \sqrt{- u^{2} + 1}}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \frac{\sqrt{35}}{5 \sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx = \frac{\sqrt{35}}{5} \int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}}\, dx$

         ArcsinRule(context=1/sqrt(-u**2 + 1), symbol=u)

         Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{35}}{5} \operatorname{asin}{\left (u \right )}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{\sqrt{35}}{5} \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{35} x}{7} \right )}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{\sqrt{5}}{5} \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{35} x}{7} \right )}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\sqrt{5}}{5} \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{35} x}{7} \right )}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{5}}{5} \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{35} x}{7} \right )}+ \mathrm{constant}$

  1                              /  ____\
  /                      ___     |\/ 35 |
 |                     \/ 5 *asin|------|
 |        1                      \  7   /
 |  ------------- dx = ------------------
 |     __________              5         
 |    /        2                         
 |  \/  7 - 5*x                          
 |                                       
/                                        
0                                        

0.450278656805443

                                    /    ____\
  /                         ___     |x*\/ 35 |
 |                        \/ 5 *asin|--------|
 |       1                          \   7    /
 | ------------- dx = C + --------------------
 |    __________                   5          
 |   /        2                               
 | \/  7 - 5*x                                
 |                                            
/