Интеграл (3*x-x^2)*sin(2*x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                       
      /                       
     |                        
     |  /       2\            
     |  \3*x - x /*sin(2*x) dx
     |                        
    /                         
    0                         
    $$\int_{0}^{1} \left(- x^{2} + 3 x\right) \sin{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. Используем интегрирование по частям:

        пусть и пусть dx.

        Затем dx.

        Чтобы найти :

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

            Таким образом, результат будет:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Теперь решаем под-интеграл.

      2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        1. пусть .

          Тогда пусть и подставим :

          1. Интегрируем почленно:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Используем интегрирование по частям:

                пусть и пусть dx.

                Затем dx.

                Чтобы найти :

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Теперь решаем под-интеграл.

              2. Интеграл от синуса есть минус косинус:

              Таким образом, результат будет:

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

              1. Интеграл от косинуса есть синус:

              Таким образом, результат будет:

            Результат есть:

          Если сейчас заменить ещё в:

        Таким образом, результат будет:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. Интегрируем почленно:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Теперь решаем под-интеграл.

          3. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Используем интегрирование по частям:

            пусть и пусть dx.

            Затем dx.

            Чтобы найти :

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Теперь решаем под-интеграл.

          2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. пусть .

              Тогда пусть и подставим :

              1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

                1. Интеграл от косинуса есть синус:

                Таким образом, результат будет:

              Если сейчас заменить ещё в:

            Таким образом, результат будет:

          Таким образом, результат будет:

        Результат есть:

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                               
      /                                               
     |                                                
     |  /       2\               1   5*cos(2)   sin(2)
     |  \3*x - x /*sin(2*x) dx = - - -------- + ------
     |                           4      4         4   
    /                                                 
    0                                                 
    $${{\sin 2-5\,\cos 2}\over{4}}+{{1}\over{4}}$$
    Численный ответ [src]
    0.997507902390348
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                                                                    
     |                                                                                     
     | /       2\                   cos(2*x)   3*sin(2*x)   x*sin(2*x)   x*(3 - x)*cos(2*x)
     | \3*x - x /*sin(2*x) dx = C - -------- + ---------- - ---------- - ------------------
     |                                 4           4            2                2         
    /                                                                                      
    $${{{{3\,\left(\sin \left(2\,x\right)-2\,x\,\cos \left(2\,x\right) \right)}\over{2}}-{{4\,x\,\sin \left(2\,x\right)+\left(2-4\,x^2 \right)\,\cos \left(2\,x\right)}\over{4}}}\over{2}}$$