∫ Найти интеграл от y = f(x) = cos(2*x)^(3)*sin(2*x) dx (косинус от (2 умножить на х) в степени (3) умножить на синус от (2 умножить на х)) - с подробным решением онлайн [Есть ОТВЕТ!]

Интеграл cos(2*x)^(3)*sin(2*x) (dx)

Препод очень удивится увидев твоё верное решение😉

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1                      
      /                      
     |                       
     |     3                 
     |  cos (2*x)*sin(2*x) dx
     |                       
    /                        
    0                        
    $$\int_{0}^{1} \sin{\left (2 x \right )} \cos^{3}{\left (2 x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

      Метод #1

      1. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

          1. Интеграл есть :

          Таким образом, результат будет:

        Если сейчас заменить ещё в:

      Метод #2

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

      2. пусть .

        Тогда пусть и подставим :

        1. Интегрируем почленно:

          1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            1. Интеграл есть :

            Таким образом, результат будет:

          1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

          Результат есть:

        Если сейчас заменить ещё в:

    2. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                                    
      /                                    
     |                                 4   
     |     3                    1   cos (2)
     |  cos (2*x)*sin(2*x) dx = - - -------
     |                          8      8   
    /                                      
    0                                      
    $${{1}\over{8}}-{{\cos ^42}\over{8}}$$
    Численный ответ [src]
    0.121251164332235
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                                     
     |                                4     
     |    3                        cos (2*x)
     | cos (2*x)*sin(2*x) dx = C - ---------
     |                                 8    
    /                                       
    $$-{{\cos ^4\left(2\,x\right)}\over{8}}$$
    ×

    Где учитесь?

    Для правильного составления решения, укажите: