Интеграл x/(16-x^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

Ввести:

{ кусочно-заданную функцию можно здесь.

    Решение

    Вы ввели [src]
      1           
      /           
     |            
     |     x      
     |  ------- dx
     |        2   
     |  16 - x    
     |            
    /             
    0             
    $$\int_{0}^{1} \frac{x}{- x^{2} + 16}\, dx$$
    Подробное решение
    Дан интеграл:
      /          
     |           
     |    x      
     | ------- dx
     |       2   
     | 16 - x    
     |           
    /            
    Перепишем подинтегральную функцию
                      -2*x      
              - --------------- 
                   2            
       x        - x  + 0*x + 16 
    ------- = ------------------
          2           2         
    16 - x                      
    или
      /            
     |             
     |    x        
     | ------- dx  
     |       2    =
     | 16 - x      
     |             
    /              
      
       /                   
      |                    
      |       -2*x         
    - | --------------- dx 
      |    2               
      | - x  + 0*x + 16    
      |                    
     /                     
    -----------------------
               2           
    В интеграле
       /                   
      |                    
      |       -2*x         
    - | --------------- dx 
      |    2               
      | - x  + 0*x + 16    
      |                    
     /                     
    -----------------------
               2           
    сделаем замену
          2
    u = -x 
    тогда
    интеграл =
       /                          
      |                           
      |   1                       
    - | ------ du                 
      | 16 + u                    
      |                           
     /               -log(16 + u) 
    -------------- = -------------
          2                2      
    делаем обратную замену
       /                                     
      |                                      
      |       -2*x                           
    - | --------------- dx                   
      |    2                                 
      | - x  + 0*x + 16                      
      |                           /       2\ 
     /                        -log\-16 + x / 
    ----------------------- = ---------------
               2                     2       
    Решением будет:
           /       2\
        log\-16 + x /
    C - -------------
              2      
    График
    Ответ [src]
      1                               
      /                               
     |                                
     |     x         log(16)   log(15)
     |  ------- dx = ------- - -------
     |        2         2         2   
     |  16 - x                        
     |                                
    /                                 
    0                                 
    $${{\log 16}\over{2}}-{{\log 15}\over{2}}$$
    Численный ответ [src]
    0.0322692605687856
    Ответ (Неопределённый) [src]
      /                             
     |                     /      2\
     |    x             log\16 - x /
     | ------- dx = C - ------------
     |       2               2      
     | 16 - x                       
     |                              
    /                               
    $$-{{\log \left(16-x^2\right)}\over{2}}$$