Интеграл 2*dx/sin(2*x+pi/4)^2 (dx)

Вы ввели

  1                  
  /                  
 |                   
 |        2          
 |  -------------- dx
 |     2/      pi\   
 |  sin |2*x + --|   
 |      \      4 /   
 |                   
/                    
0                    

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )}}\, dx$$

Подробное решение

1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

   $\int \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )}}\, dx = 2 \int \frac{1}{\sin^{2}{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )}}\, dx$

   1. Не могу найти шаги в поиске этот интеграла.

      Но интеграл

      $\frac{1}{4} \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )} - \frac{1}{4 \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )}}$

   Таким образом, результат будет: $\frac{1}{2} \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )} - \frac{1}{2 \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )}}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{\tan^{2}{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )} - 1}{2 \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )}}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{\tan^{2}{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )} - 1}{2 \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )}}+ \mathrm{constant}$

---

Ответ:

$\frac{\tan^{2}{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )} - 1}{2 \tan{\left (x + \frac{\pi}{8} \right )}}+ \mathrm{constant}$

Ответ

  1                                                         /      ___\                
  /                        /    pi\                     ___ |    \/ 2 |                
 |                      tan|1 + --|                   \/ 2 *|1 - -----|         ___    
 |        2                \    8 /         1               \      2  /       \/ 2     
 |  -------------- dx = ----------- - ------------- - ----------------- + -------------
 |     2/      pi\           2             /    pi\           2             /      ___\
 |  sin |2*x + --|                    2*tan|1 + --|                         |    \/ 2 |
 |      \      4 /                         \    8 /                       4*|1 - -----|
 |                                                                          \      2  /
/                                                                                      
0                                                                                      

$$\int_{0}^{1} \frac{2}{\sin^{2}{\left (2 x + \frac{\pi}{4} \right )}}\, dx = - \frac{\sqrt{2}}{2} \left(- \frac{\sqrt{2}}{2} + 1\right) - \frac{1}{2 \tan{\left (\frac{\pi}{8} + 1 \right )}} + \frac{\sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2} + 4} + \frac{1}{2} \tan{\left (\frac{\pi}{8} + 1 \right )}$$

Численный ответ

3.68770693881598