Интеграл x^2*acos(x) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели [src]
      1              
      /              
     |               
     |   2           
     |  x *acos(x) dx
     |               
    /                
    0                
    $$\int_{0}^{1} x^{2} \operatorname{acos}{\left (x \right )}\, dx$$
    Подробное решение
    1. Используем интегрирование по частям:

      пусть и пусть dx.

      Затем dx.

      Чтобы найти :

      1. Интеграл есть :

      Теперь решаем под-интеграл.

    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

        TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sin(_theta), rewritten=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=And(x < 1, x > -1), context=x**3/sqrt(-x**2 + 1), symbol=x)

      Таким образом, результат будет:

    3. Теперь упростить:

    4. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    Ответ [src]
      1                    
      /                    
     |                     
     |   2                 
     |  x *acos(x) dx = 2/9
     |                     
    /                      
    0                      
    $${{2}\over{9}}$$
    Численный ответ [src]
    0.222222222222222
    Ответ (Неопределённый) [src]
                           /                        3/2                                     
                           |     ________   /     2\                                        
      /                    <    /      2    \1 - x /                                        
     |                     |- \/  1 - x   + -----------  for And(x > -1, x < 1)    3        
     |  2                  \                     3                                x *acos(x)
     | x *acos(x) dx = C + ---------------------------------------------------- + ----------
     |                                              3                                 3     
    /                                                                                       
    $${{x^3\,\arccos x}\over{3}}+{{-{{x^2\,\sqrt{1-x^2}}\over{3}}-{{2\, \sqrt{1-x^2}}\over{3}}}\over{3}}$$