Интеграл x^3/sqrt(4-x^2) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1               
      /               
     |                
     |        3       
     |       x        
     |  ----------- dx
     |     ________   
     |    /      2    
     |  \/  4 - x     
     |                
    /                 
    0                 
    $$\int_{0}^{1} \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 4}}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    1. Перепишите подынтегральное выражение:

      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=2*sin(_theta), rewritten=8*sin(_theta)**3, substep=ConstantTimesRule(constant=8, other=sin(_theta)**3, substep=RewriteRule(rewritten=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), substep=AlternativeRule(alternatives=[URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=1, substep=AddRule(substeps=[PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), ConstantRule(constant=-1, context=-1, symbol=_u)], context=_u**2 - 1, symbol=_u), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=-1, other=sin(_theta)*cos(_theta)**2, substep=URule(u_var=_u, u_func=cos(_theta), constant=-1, substep=ConstantTimesRule(constant=-1, other=_u**2, substep=PowerRule(base=_u, exp=2, context=_u**2, symbol=_u), context=_u**2, symbol=_u), context=sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2, symbol=_theta), TrigRule(func='sin', arg=_theta, context=sin(_theta), symbol=_theta)], context=-sin(_theta)*cos(_theta)**2 + sin(_theta), symbol=_theta), context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta)], context=(-cos(_theta)**2 + 1)*sin(_theta), symbol=_theta), context=sin(_theta)**3, symbol=_theta), context=8*sin(_theta)**3, symbol=_theta), restriction=And(x < 2, x > -2), context=x**3/sqrt(-x**2 + 4), symbol=x)

    2. Теперь упростить:

    3. Добавляем постоянную интегрирования:


    Ответ:

    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                              
      /                              
     |                               
     |        3                      
     |       x           16       ___
     |  ----------- dx = -- - 3*\/ 3 
     |     ________      3           
     |    /      2                   
     |  \/  4 - x                    
     |                               
    /                                
    0                                
    $${{16}\over{3}}-3^{{{3}\over{2}}}$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.137180910626701
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                                             
     |                                                                              
     |       3              //                          3/2                        \
     |      x               ||       ________   /     2\                           |
     | ----------- dx = C + |<      /      2    \4 - x /                           |
     |    ________          ||- 4*\/  4 - x   + -----------  for And(x > -2, x < 2)|
     |   /      2           \\                       3                             /
     | \/  4 - x                                                                    
     |                                                                              
    /                                                                               
    $$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{- x^{2} + 4}}\, dx = C + \begin{cases} \frac{1}{3} \left(- x^{2} + 4\right)^{\frac{3}{2}} - 4 \sqrt{- x^{2} + 4} & \text{for}\: x > -2 \wedge x < 2 \end{cases}$$