Интеграл (x+18)/(x^2+4*x+68) (dx)

d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                 
      /                 
     |                  
     |      x + 18      
     |  ------------- dx
     |   2              
     |  x  + 4*x + 68   
     |                  
    /                   
    0                   
    $$\int_{0}^{1} \frac{x + 18}{x^{2} + 4 x + 68}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /                
     |                 
     |     x + 18      
     | ------------- dx
     |  2              
     | x  + 4*x + 68   
     |                 
    /                  
    Перепишем подинтегральную функцию
                    /   2*x + 4   \                     
                    |-------------|                     
                    | 2           |                     
        x + 18      \x  + 4*x + 68/           1         
    ------------- = --------------- + ------------------
     2                     2            /         2    \
    x  + 4*x + 68                       |/  x   1\     |
                                      4*||- - - -|  + 1|
                                        \\  8   4/     /
    или
      /                  
     |                   
     |     x + 18        
     | ------------- dx  
     |  2               =
     | x  + 4*x + 68     
     |                   
    /                    
      
                            /                 
                           |                  
      /                    |       1          
     |                     | -------------- dx
     |    2*x + 4          |          2       
     | ------------- dx    | /  x   1\        
     |  2                  | |- - - -|  + 1   
     | x  + 4*x + 68       | \  8   4/        
     |                     |                  
    /                     /                   
    ------------------- + --------------------
             2                     4          
    В интеграле
      /                
     |                 
     |    2*x + 4      
     | ------------- dx
     |  2              
     | x  + 4*x + 68   
     |                 
    /                  
    -------------------
             2         
    сделаем замену
         2      
    u = x  + 4*x
    тогда
    интеграл =
      /                       
     |                        
     |   1                    
     | ------ du              
     | 68 + u                 
     |                        
    /              log(68 + u)
    ------------ = -----------
         2              2     
    делаем обратную замену
      /                                     
     |                                      
     |    2*x + 4                           
     | ------------- dx                     
     |  2                                   
     | x  + 4*x + 68                        
     |                       /      2      \
    /                     log\68 + x  + 4*x/
    ------------------- = ------------------
             2                    2         
    В интеграле
      /                 
     |                  
     |       1          
     | -------------- dx
     |          2       
     | /  x   1\        
     | |- - - -|  + 1   
     | \  8   4/        
     |                  
    /                   
    --------------------
             4          
    сделаем замену
          1   x
    v = - - - -
          4   8
    тогда
    интеграл =
      /                   
     |                    
     |   1                
     | ------ dv          
     |      2             
     | 1 + v              
     |                    
    /              atan(v)
    ------------ = -------
         4            4   
    делаем обратную замену
      /                                 
     |                                  
     |       1                          
     | -------------- dx                
     |          2                       
     | /  x   1\                        
     | |- - - -|  + 1                   
     | \  8   4/                        
     |                                  
    /                            /1   x\
    -------------------- = 2*atan|- + -|
             4                   \4   8/
    Решением будет:
           /      2      \                
        log\68 + x  + 4*x/         /1   x\
    C + ------------------ + 2*atan|- + -|
                2                  \4   8/
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                                 
      /                                                                 
     |                                                                  
     |      x + 18         log(73)                               log(68)
     |  ------------- dx = ------- - 2*atan(1/4) + 2*atan(3/8) - -------
     |   2                    2                                     2   
     |  x  + 4*x + 68                                                   
     |                                                                  
    /                                                                   
    0                                                                   
    $${{\log 73}\over{2}}-{{\log 68}\over{2}}+2\,\arctan \left({{3}\over{ 8}}\right)-2\,\arctan \left({{1}\over{4}}\right)$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.263059882273558
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                         
     |                           /      2      \                
     |     x + 18             log\68 + x  + 4*x/         /1   x\
     | ------------- dx = C + ------------------ + 2*atan|- + -|
     |  2                             2                  \4   8/
     | x  + 4*x + 68                                            
     |                                                          
    /                                                           
    $${{\log \left(x^2+4\,x+68\right)}\over{2}}+2\,\arctan \left({{2\,x+4 }\over{16}}\right)$$