Решение интегралов/ Определённый интеграл

Интеграл (x+18)/(x^2+4*x+68) (dx)

∫d

↑ Введите нижнюю границу интеграла и верхнюю границу интеграла b, подинтегральную функцию f(x) - смотрите пример

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      1                 
  /                 
 |                  
 |      x + 18      
 |  ------------- dx
 |   2              
 |  x  + 4*x + 68   
 |                  
/                   
0
    $$\int_{0}^{1} \frac{x + 18}{x^{2} + 4 x + 68}\, dx$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дан интеграл:
      /                
 |                 
 |     x + 18      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 4*x + 68   
 |                 
/
    Перепишем подинтегральную функцию
                    /   2*x + 4   \                     
                |-------------|                     
                | 2           |                     
    x + 18      \x  + 4*x + 68/           1         
------------- = --------------- + ------------------
 2                     2            /         2    \
x  + 4*x + 68                       |/  x   1\     |
                                  4*||- - - -|  + 1|
                                    \\  8   4/     /
    или
      /                  
 |                   
 |     x + 18        
 | ------------- dx  
 |  2               =
 | x  + 4*x + 68     
 |                   
/                    
  
                            /                 
                       |                  
  /                    |       1          
 |                     | -------------- dx
 |    2*x + 4          |          2       
 | ------------- dx    | /  x   1\        
 |  2                  | |- - - -|  + 1   
 | x  + 4*x + 68       | \  8   4/        
 |                     |                  
/                     /                   
------------------- + --------------------
         2                     4
    В интеграле
      /                
 |                 
 |    2*x + 4      
 | ------------- dx
 |  2              
 | x  + 4*x + 68   
 |                 
/                  
-------------------
         2
    сделаем замену
         2      
u = x  + 4*x
    тогда
    интеграл =
      /                       
 |                        
 |   1                    
 | ------ du              
 | 68 + u                 
 |                        
/              log(68 + u)
------------ = -----------
     2              2
    делаем обратную замену
      /                                     
 |                                      
 |    2*x + 4                           
 | ------------- dx                     
 |  2                                   
 | x  + 4*x + 68                        
 |                       /      2      \
/                     log\68 + x  + 4*x/
------------------- = ------------------
         2                    2
    В интеграле
      /                 
 |                  
 |       1          
 | -------------- dx
 |          2       
 | /  x   1\        
 | |- - - -|  + 1   
 | \  8   4/        
 |                  
/                   
--------------------
         4
    сделаем замену
          1   x
v = - - - -
      4   8
    тогда
    интеграл =
      /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv          
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/              atan(v)
------------ = -------
     4            4
    делаем обратную замену
      /                                 
 |                                  
 |       1                          
 | -------------- dx                
 |          2                       
 | /  x   1\                        
 | |- - - -|  + 1                   
 | \  8   4/                        
 |                                  
/                            /1   x\
-------------------- = 2*atan|- + -|
         4                   \4   8/
    Решением будет:
           /      2      \                
    log\68 + x  + 4*x/         /1   x\
C + ------------------ + 2*atan|- + -|
            2                  \4   8/
    График
    [LaTeX]
    Ответ
    [LaTeX]
      1                                                                 
  /                                                                 
 |                                                                  
 |      x + 18         log(73)                               log(68)
 |  ------------- dx = ------- - 2*atan(1/4) + 2*atan(3/8) - -------
 |   2                    2                                     2   
 |  x  + 4*x + 68                                                   
 |                                                                  
/                                                                   
0
    $${{\log 73}\over{2}}-{{\log 68}\over{2}}+2\,\arctan \left({{3}\over{ 8}}\right)-2\,\arctan \left({{1}\over{4}}\right)$$
    Численный ответ
    [LaTeX]
    0.263059882273558
    Ответ (Неопределённый)
    [LaTeX]
      /                                                         
 |                           /      2      \                
 |     x + 18             log\68 + x  + 4*x/         /1   x\
 | ------------- dx = C + ------------------ + 2*atan|- + -|
 |  2                             2                  \4   8/
 | x  + 4*x + 68                                            
 |                                                          
/
    $${{\log \left(x^2+4\,x+68\right)}\over{2}}+2\,\arctan \left({{2\,x+4 }\over{16}}\right)$$
    Упростить