Подробное решение
Дан интеграл:
/
|
| x + 18
| ------------- dx
| 2
| x + 4*x + 68
|
/
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x + 4 \
|-------------|
| 2 |
x + 18 \x + 4*x + 68/ 1
------------- = --------------- + ------------------
2 2 / 2 \
x + 4*x + 68 |/ x 1\ |
4*||- - - -| + 1|
\\ 8 4/ /
или
/
|
| x + 18
| ------------- dx
| 2 =
| x + 4*x + 68
|
/
/
|
/ | 1
| | -------------- dx
| 2*x + 4 | 2
| ------------- dx | / x 1\
| 2 | |- - - -| + 1
| x + 4*x + 68 | \ 8 4/
| |
/ /
------------------- + --------------------
2 4
В интеграле
/
|
| 2*x + 4
| ------------- dx
| 2
| x + 4*x + 68
|
/
-------------------
2
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ du
| 68 + u
|
/ log(68 + u)
------------ = -----------
2 2
делаем обратную замену
/
|
| 2*x + 4
| ------------- dx
| 2
| x + 4*x + 68
| / 2 \
/ log\68 + x + 4*x/
------------------- = ------------------
2 2
В интеграле
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 8 4/
|
/
--------------------
4
сделаем замену
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4
делаем обратную замену
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 8 4/
|
/ /1 x\
-------------------- = 2*atan|- + -|
4 \4 8/
Решением будет:
/ 2 \
log\68 + x + 4*x/ /1 x\
C + ------------------ + 2*atan|- + -|
2 \4 8/