Интеграл (x+18)/(x^2+4*x+68) (dx)
Решение
Вы ввели
[TeX]
[pretty]
[text]
1 / | | x + 18 | ------------- dx | 2 | x + 4*x + 68 | / 0
$$\int_{0}^{1} \frac{x + 18}{x^{2} + 4 x + 68}\, dx$$
Подробное решение
[TeX]
Дан интеграл:
/ | | x + 18 | ------------- dx | 2 | x + 4*x + 68 | /
Перепишем подинтегральную функцию
/ 2*x + 4 \
|-------------|
| 2 |
x + 18 \x + 4*x + 68/ 1
------------- = --------------- + ------------------
2 2 / 2 \
x + 4*x + 68 |/ x 1\ |
4*||- - - -| + 1|
\\ 8 4/ /или
/ | | x + 18 | ------------- dx | 2 = | x + 4*x + 68 | /
/
|
/ | 1
| | -------------- dx
| 2*x + 4 | 2
| ------------- dx | / x 1\
| 2 | |- - - -| + 1
| x + 4*x + 68 | \ 8 4/
| |
/ /
------------------- + --------------------
2 4 В интеграле
/
|
| 2*x + 4
| ------------- dx
| 2
| x + 4*x + 68
|
/
-------------------
2 сделаем замену
2 u = x + 4*x
тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ du
| 68 + u
|
/ log(68 + u)
------------ = -----------
2 2 делаем обратную замену
/
|
| 2*x + 4
| ------------- dx
| 2
| x + 4*x + 68
| / 2 \
/ log\68 + x + 4*x/
------------------- = ------------------
2 2 В интеграле
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 8 4/
|
/
--------------------
4 сделаем замену
1 x
v = - - - -
4 8тогда
интеграл =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
4 4 делаем обратную замену
/
|
| 1
| -------------- dx
| 2
| / x 1\
| |- - - -| + 1
| \ 8 4/
|
/ /1 x\
-------------------- = 2*atan|- + -|
4 \4 8/Решением будет:
/ 2 \
log\68 + x + 4*x/ /1 x\
C + ------------------ + 2*atan|- + -|
2 \4 8/
График
Ответ
[TeX]
[pretty]
[text]
1 / | | x + 18 log(73) log(68) | ------------- dx = ------- - 2*atan(1/4) + 2*atan(3/8) - ------- | 2 2 2 | x + 4*x + 68 | / 0
$${{\log 73}\over{2}}-{{\log 68}\over{2}}+2\,\arctan \left({{3}\over{
8}}\right)-2\,\arctan \left({{1}\over{4}}\right)$$
Численный ответ
[pretty]
[text]
0.263059882273558
Ответ (Неопределённый)
[TeX]
[pretty]
[text]
/ | / 2 \ | x + 18 log\68 + x + 4*x/ /1 x\ | ------------- dx = C + ------------------ + 2*atan|- + -| | 2 2 \4 8/ | x + 4*x + 68 | /
$${{\log \left(x^2+4\,x+68\right)}\over{2}}+2\,\arctan \left({{2\,x+4
}\over{16}}\right)$$