(50*3^x-100+50*3^(-x))*1/(3^x+3^(-x)+2)-(20+20*3^x)*1/(3^x+1)<=(15*3^x-15)*1/(3^x+1) (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (50*3^x-100+50*3^(-x))*1/(3^x+3^(-x)+2)-(20+20*3^x)*1/(3^x+1)<=(15*3^x-15)*1/(3^x+1) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
        x             -x            x        x     
    50*3  - 100 + 50*3     20 + 20*3     15*3  - 15
    -------------------- - ---------- <= ----------
         x    -x              x             x      
        3  + 3   + 2         3  + 1        3  + 1  
    $$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 3^{- x} + 2} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 3^{- x} + 2} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 3^{- x} + 2} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} = \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (9 \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (9 \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = \frac{\log{\left (9 \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{50 \cdot 3^{x} - 100 + 50 \cdot 3^{- x}}{3^{x} + 3^{- x} + 2} - \frac{20 \cdot 3^{x} + 20}{3^{x} + 1} \leq \frac{15 \cdot 3^{x} - 15}{3^{x} + 1}$$
                    -(-11)                            
                    -------                           
     50                10            20       15      
    --- - 100 + 50*3           20 + ---      --- - 15 
     11                              11       11      
     --                              --       --      
     10                              10       10      
    3                               3        3        
    ----------------------- - ---------- <= ----------
                         1             1             1
     /       -(-11)     \     / 1     \     / 1     \ 
     |       -------    |     |--- + 1|     |--- + 1| 
     | 1        10      |     | 11    |     | 11    | 
     |--- + 3        + 2|     | --    |     | --    | 
     | 11               |     | 10    |     | 10    | 
     | --               |     \3      /     \3      / 
     | 10               |                             
     \3                 /                             

                           9/10            9/10             9/10
               10___   50*3            20*3              5*3    
    -100 + 150*\/ 3  + --------   20 + --------    -15 + -------
                          9               9                 3   
    --------------------------- - ------------- <= -------------
                       9/10              9/10             9/10  
              10___   3                 3                3      
        2 + 3*\/ 3  + -----         1 + -----        1 + -----  
                        9                 9                9    

    но
                           9/10            9/10             9/10
               10___   50*3            20*3              5*3    
    -100 + 150*\/ 3  + --------   20 + --------    -15 + -------
                          9               9                 3   
    --------------------------- - ------------- >= -------------
                       9/10              9/10             9/10  
              10___   3                 3                3      
        2 + 3*\/ 3  + -----         1 + -----        1 + -----  
                        9                 9                9    

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq \frac{\log{\left (9 \right )}}{\log{\left (3 \right )}}$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]