4^x<1/64 (неравенство)

Укажите решение неравенства: 4^x<1/64 (множество решений неравенства)

Вы ввели

[TeX]

[pretty]

[text]

 x       
4  < 1/64

$$4^{x} < \frac{1}{64}$$

Подробное решение

[TeX]

Дано неравенство:
$$4^{x} < \frac{1}{64}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4^{x} = \frac{1}{64}$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$4^{x} = \frac{1}{64}$$
или
$$4^{x} - \frac{1}{64} = 0$$
или
$$4^{x} = \frac{1}{64}$$
или
$$4^{x} = \frac{1}{64}$$
- это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = 4^{x}$$
получим
$$v - \frac{1}{64} = 0$$
или
$$v - \frac{1}{64} = 0$$
Переносим свободные слагаемые (без v)
из левой части в правую, получим:
$$v = \frac{1}{64}$$
делаем обратную замену
$$4^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left (v \right )}}{\log{\left (4 \right )}}$$
$$x_{1} = \frac{1}{64}$$
$$x_{1} = \frac{1}{64}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{1}{64}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{27}{320}$$
=
$$- \frac{27}{320}$$
подставляем в выражение
$$4^{x} < \frac{1}{64}$$
$$\frac{1}{4^{\frac{27}{320}}} < \frac{1}{64}$$

 133       
 ---       
 160       
2    < 1/64
----       
 2         
       

но

 133       
 ---       
 160       
2    > 1/64
----       
 2         
       

Тогда
$$x < \frac{1}{64}$$
не выполняется
значит решение неравенства будет при:
$$x > \frac{1}{64}$$

         _____  
        /
-------ο-------
       x1

Быстрый ответ

[TeX]

[pretty]

[text]

And(-oo < x, x < -3)

$$-\infty < x \wedge x < -3$$

Быстрый ответ 2

[TeX]

[pretty]

[text]

(-oo, -3)

$$x \in \left(-\infty, -3\right)$$