4*sin(x)^2>=3 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 4*sin(x)^2>=3 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
         2        
    4*sin (x) >= 3
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} = 3$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} = 3$$
    преобразуем
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 = 0$$
    Сделаем замену
    $$w = \sin{\left (x \right )}$$
    Это уравнение вида
    a*w^2 + b*w + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 4$$
    $$b = 0$$
    $$c = -3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (0)^2 - 4 * (4) * (-3) = 48

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    $$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
    делаем обратную замену
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (x \right )} = w$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
    , где n - любое целое число
    подставляем w:
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{3} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
    $$x_{4} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
    $$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi   1 
    - -- - --
      3    10

    =
    $$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$
         2/  pi   1 \     
    4*sin |- -- - --| >= 3
          \  3    10/     

         2/1    pi\     
    4*sin |-- + --| >= 3
          \10   3 /     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq - \frac{\pi}{3}$$
     _____           _____           _____          
          \         /     \         /
    -------•-------•-------•-------•-------
           x1      x2      x3      x4

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq - \frac{\pi}{3}$$
    $$x \geq \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}$$
    $$x \geq \frac{4 \pi}{3}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /pi            2*pi\     /     -pi          \     /4*pi             \\
    Or|And|-- <= x, x <= ----|, And|x <= ----, -oo < x|, And|---- <= x, x < oo||
      \   \3              3  /     \      3           /     \ 3               //
    $$\left(\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}\right) \vee \left(x \leq - \frac{\pi}{3} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{4 \pi}{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
          -pi      pi  2*pi     4*pi     
    (-oo, ----] U [--, ----] U [----, oo)
           3       3    3        3       
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$