4*sin(x)^2>=3 (неравенство)

     2        
4*sin (x) >= 3

$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$

Дано неравенство:
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} = 3$$
преобразуем
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 = 0$$
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \sin{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 4$$
$$b = 0$$
$$c = -3$$
, то

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (4) * (-3) = 48

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$$
делаем обратную замену
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\sin{\left (x \right )} = w$$
- это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w \right )}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w \right )} + \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{1} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (\frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (w_{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{\sqrt{3}}{2} \right )} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = - \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{3} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{4} = \frac{4 \pi}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=

  pi   1 
- -- - --
  3    10

=
$$- \frac{\pi}{3} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$4 \sin^{2}{\left (x \right )} \geq 3$$

     2/  pi   1 \     
4*sin |- -- - --| >= 3
      \  3    10/     

     2/1    pi\     
4*sin |-- + --| >= 3
      \10   3 /     

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x \leq - \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x \leq - \frac{\pi}{3}$$
$$x \geq \frac{\pi}{3} \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}$$
$$x \geq \frac{4 \pi}{3}$$

  /   /pi            2*pi\     /     -pi          \     /4*pi             \\
Or|And|-- <= x, x <= ----|, And|x <= ----, -oo < x|, And|---- <= x, x < oo||
  \   \3              3  /     \      3           /     \ 3               //

$$\left(\frac{\pi}{3} \leq x \wedge x \leq \frac{2 \pi}{3}\right) \vee \left(x \leq - \frac{\pi}{3} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(\frac{4 \pi}{3} \leq x \wedge x < \infty\right)$$

      -pi      pi  2*pi     4*pi     
(-oo, ----] U [--, ----] U [----, oo)
       3       3    3        3       

$$x \in \left(-\infty, - \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right] \cup \left[\frac{4 \pi}{3}, \infty\right)$$