2*5^x<2^(x*1/4) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: 2*5^x<2^(x*1/4) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
            x
            -
       x    4
    2*5  < 2 
    $$2 \cdot 5^{x} < 2^{\frac{x}{4}}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$2 \cdot 5^{x} < 2^{\frac{x}{4}}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$2 \cdot 5^{x} = 2^{\frac{x}{4}}$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}$$
    $$x_{1} = \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
       /           4          \     
       | ---------------------|     
       |                     1|     
       | (-log(625) + log(2)) |   1 
    log\2                     / - --
                                  10

    =
    $$\log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$2 \cdot 5^{x} < 2^{\frac{x}{4}}$$
                                              /           4          \     
                                              | ---------------------|     
          /           4          \            |                     1|     
          | ---------------------|            | (-log(625) + log(2)) |   1 
          |                     1|         log\2                     / - --
          | (-log(625) + log(2)) |   1                                   10
       log\2                     / - --    --------------------------------
                                     10                   4                
    2*5                                 < 2                                

                 /         4         \              /         4         \
                 | ------------------|              | ------------------|
         1       | -log(625) + log(2)|              | -log(625) + log(2)|
       - -- + log\2                  / <    1    log\2                  /
         10                               - -- + ------------------------
    2*5                                     40              4            
       2                               

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /                /         4         \\
       |                | ------------------||
       |                | -log(625) + log(2)||
    And\-oo < x, x < log\2                  //
    $$-\infty < x \wedge x < \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
             /         4         \ 
             | ------------------| 
             | -log(625) + log(2)| 
    (-oo, log\2                  /)
    $$x \in \left(-\infty, \log{\left (2^{\frac{4}{- \log{\left (625 \right )} + \log{\left (2 \right )}}} \right )}\right)$$