(x+2)^2*1/5*x-x^2>=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+2)^2*1/5*x-x^2>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
           2            
    (x + 2)       2     
    --------*x - x  >= 0
       5                
    $$- x^{2} + x \frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{2} \geq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- x^{2} + x \frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{2} \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- x^{2} + x \frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{2} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$- x^{2} + x \frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{2} = 0$$
    преобразуем:
    Вынесем общий множитель за скобки
    $$\frac{x}{5} \left(x^{2} - x + 4\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$\frac{x}{5} = 0$$
    $$x^{2} - x + 4 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$\frac{x}{5} = 0$$
    Разделим обе части ур-ния на 1/5
    x = 0 / (1/5)

    Получим ответ: x1 = 0
    2.
    $$x^{2} - x + 4 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -1$$
    $$c = 4$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (1) * (4) = -15

    Т.к. D < 0, то уравнение
    не имеет вещественных корней,
    но комплексные корни имеются.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
    $$x_{1} = 0$$
    $$x_{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{15} i}{2}$$
    Исключаем комплексные решения:
    $$x_{1} = 0$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 0$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- x^{2} + x \frac{1}{5} \left(x + 2\right)^{2} \geq 0$$
               2                   
    (-1/10 + 2)                    
    ------------*(-1)              
         5                   2     
    ----------------- - -1/10  >= 0
            10                     

    -411      
    ----- >= 0
     5000     

    но
    -411     
    ----- < 0
     5000    

    Тогда
    $$x \leq 0$$
    не выполняется
    значит решение неравенства будет при:
    $$x \geq 0$$
             _____  
            /
    -------•-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(0 <= x, x < oo)
    $$0 \leq x \wedge x < \infty$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    [0, oo)
    $$x \in \left[0, \infty\right)$$