(x+1)^3*(3*x-2-x^2)>=0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x+1)^3*(3*x-2-x^2)>=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           3 /           2\     
    (x + 1) *\3*x - 2 - x / >= 0
    $$\left(x + 1\right)^{3} \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) \geq 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x + 1\right)^{3} \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) \geq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x + 1\right)^{3} \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x + 1\right)^{3} \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x + 1 = 0$$
    $$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x + 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = -1$$
    Получим ответ: x1 = -1
    2.
    $$- x^{2} + 3 x - 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = 3$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (3)^2 - 4 * (-1) * (-2) = 1

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{1} = -1$$
    $$x_{2} = 1$$
    $$x_{3} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x + 1\right)^{3} \left(- x^{2} + 3 x - 2\right) \geq 0$$
              3 /                    2\     
    /  11    \  |3*(-11)       /-11 \ |     
    |- -- + 1| *|------- - 2 - |----| | >= 0
    \  10    /  \   10         \ 10 / /     

     651       
    ------ >= 0
    100000     

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \leq -1$$
     _____           _____          
          \         /     \    
    -------•-------•-------•-------
           x1      x2      x3

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x \leq -1$$
    $$x \geq 1 \wedge x \leq 2$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(1 <= x, x <= 2), And(x <= -1, -oo < x))
    $$\left(1 \leq x \wedge x \leq 2\right) \vee \left(x \leq -1 \wedge -\infty < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, -1] U [1, 2]
    $$x \in \left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, 2\right]$$