3-x^2<x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 3-x^2<x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
         2    
    3 - x  < x
    $$- x^{2} + 3 < x$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$- x^{2} + 3 < x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- x^{2} + 3 = x$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$- x^{2} + 3 = x$$
    в
    $$- x + - x^{2} + 3 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = -1$$
    $$b = -1$$
    $$c = 3$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (-1) * (3) = 13

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
            ____     
      1   \/ 13    1 
    - - - ------ - --
      2     2      10

    =
    $$- \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{3}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$- x^{2} + 3 < x$$
                           2                    
        /        ____     \            ____     
        |  1   \/ 13    1 |      1   \/ 13    1 
    3 - |- - - ------ - --|  < - - - ------ - --
        \  2     2      10/      2     2      10

                      2           ____
        /        ____\      3   \/ 13 
        |  3   \/ 13 |  < - - - ------
    3 - |- - - ------|      5     2   
        \  5     2   /    

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}$$
    $$x > - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}$$
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
      /   /                     ____\     /                ____    \\
      |   |               1   \/ 13 |     |          1   \/ 13     ||
    Or|And|-oo < x, x < - - - ------|, And|x < oo, - - + ------ < x||
      \   \               2     2   /     \          2     2       //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}\right) \vee \left(x < \infty \wedge - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
                  ____             ____     
            1   \/ 13        1   \/ 13      
    (-oo, - - - ------) U (- - + ------, oo)
            2     2          2     2        
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{\sqrt{13}}{2} - \frac{1}{2}\right) \cup \left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}, \infty\right)$$