(x^2-x-11)*1/(x+4)<=1 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2-x-11)*1/(x+4)<=1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
     2              
    x  - x - 11     
    ----------- <= 1
       x + 4        
    $$\frac{x^{2} - x - 11}{x + 4} \leq 1$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x^{2} - x - 11}{x + 4} \leq 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x^{2} - x - 11}{x + 4} = 1$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{x^{2} - x - 11}{x + 4} = 1$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    4 + x
    получим:
    $$\frac{1}{x + 4} \left(x + 4\right) \left(x^{2} - x - 11\right) = x + 4$$
    $$x^{2} - x - 11 = x + 4$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$x^{2} - x - 11 = x + 4$$
    в
    $$x^{2} - 2 x - 15 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -2$$
    $$c = -15$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-2)^2 - 4 * (1) * (-15) = 64

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -3$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -3$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -3$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -3$$
    $$x_{1} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    =
    $$- \frac{31}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x^{2} - x - 11}{x + 4} \leq 1$$
          2                 
    /-31 \    -31           
    |----|  - ---- - 11     
    \ 10 /     10           
    ------------------- <= 1
                  1         
        /  31    \          
        |- -- + 4|          
        \  10    /          

    19     
    -- <= 1
    10     

    но
    19     
    -- >= 1
    10     

    Тогда
    $$x \leq -3$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -3 \wedge x \leq 5$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-3 <= x, x <= 5), And(-oo < x, x < -4))
    $$\left(-3 \leq x \wedge x \leq 5\right) \vee \left(-\infty < x \wedge x < -4\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -4) U [-3, 5]
    $$x \in \left(-\infty, -4\right) \cup \left[-3, 5\right]$$