(x-3)*(2*x+3)<-7 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x-3)*(2*x+3)<-7 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (x - 3)*(2*x + 3) < -7
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) < -7$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) < -7$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
    Решаем:
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) = -7$$
    в
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
    Раскроем выражение в уравнении
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) + 7 = 0$$
    Получаем квадратное уравнение
    $$2 x^{2} - 3 x - 2 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 2$$
    $$b = -3$$
    $$c = -2$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-3)^2 - 4 * (2) * (-2) = 25

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = 2$$
    $$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = 2$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 3\right) \left(2 x + 3\right) < -7$$
    $$\left(-3 + - \frac{3}{5}\right) \left(\frac{-6}{5} 1 + 3\right) < -7$$
    -162      
    ----- < -7
      25      

    но
    -162      
    ----- > -7
      25      

    Тогда
    $$x < - \frac{1}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{1}{2} \wedge x < 2$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    And(-1/2 < x, x < 2)
    $$- \frac{1}{2} < x \wedge x < 2$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-1/2, 2)
    $$x \in \left(- \frac{1}{2}, 2\right)$$