(x+6)*1/(x-6)+(3*x-2)*1/2>0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x+6)*1/(x-6)+(3*x-2)*1/2>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    x + 6   3*x - 2    
    ----- + ------- > 0
    x - 6      2       
    $$\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6} > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6} > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    -6 + x
    получим:
    $$\left(x - 6\right) \left(\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6}\right) = 0$$
    $$\frac{3 x^{2}}{2} - 9 x + 12 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = \frac{3}{2}$$
    $$b = -9$$
    $$c = 12$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-9)^2 - 4 * (3/2) * (12) = 9

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 4$$
    $$x_{2} = 2$$
    Данные корни
    $$x_{2} = 2$$
    $$x_{1} = 4$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    =
    $$\frac{19}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{2} \left(3 x - 2\right) + \frac{x + 6}{x - 6} > 0$$
    $$\frac{\frac{19}{10} + 6}{-6 + \frac{19}{10}} + \frac{1}{2} \left(-2 + \frac{57}{10} 1\right) > 0$$
    -63     
    ---- > 0
    820     

    Тогда
    $$x < 2$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 2 \wedge x < 4$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(2 < x, x < 4), And(6 < x, x < oo))
    $$\left(2 < x \wedge x < 4\right) \vee \left(6 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (2, 4) U (6, oo)
    $$x \in \left(2, 4\right) \cup \left(6, \infty\right)$$