1/(x^2)>8*x (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: 1/(x^2)>8*x (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    1       
    -- > 8*x
     2      
    x       
    $$\frac{1}{x^{2}} > 8 x$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{1}{x^{2}} > 8 x$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{1}{x^{2}} = 8 x$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\frac{1}{x^{2}} = 8 x$$
    преобразуем
    $$\frac{1}{x^{3}} = 8$$
    Т.к. степень в ур-нии равна = -3 - не содержит чётного числа в числителе, то
    ур-ние будет иметь один действительный корень.
    Извлечём корень -3-й степени из обеих частей ур-ния:
    Получим:
    $$\frac{1}{\sqrt[3]{\frac{1}{x^{3}}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$$
    или
    $$x = \frac{1}{2}$$
    Получим ответ: x = 1/2

    Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
    сделаем замену:
    $$z = x$$
    тогда ур-ние будет таким:
    $$\frac{1}{z^{3}} = 8$$
    Любое комплексное число можно представить так:
    $$z = r e^{i p}$$
    подставляем в уравнение
    $$\frac{1}{r^{3}} e^{- 3 i p} = 8$$
    где
    $$r = \frac{1}{2}$$
    - модуль комплексного числа
    Подставляем r:
    $$e^{- 3 i p} = 1$$
    Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
    $$- i \sin{\left (3 p \right )} + \cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    значит
    $$\cos{\left (3 p \right )} = 1$$
    и
    $$- \sin{\left (3 p \right )} = 0$$
    тогда
    $$p = - \frac{2 \pi}{3} N$$
    где N=0,1,2,3,...
    Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
    Значит, решением будет для z:
    $$z_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$z_{2} = - \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
    $$z_{3} = - \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3} i}{4}$$
    делаем обратную замену
    $$z = x$$
    $$x = z$$

    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{1}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{2}{5}$$
    =
    $$\frac{2}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{1}{x^{2}} > 8 x$$
    $$\frac{1}{\left(\frac{2}{5}\right)^{2}} > \frac{16}{5} 1$$
    25/4 > 16/5

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < \frac{1}{2}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-oo < x, x < 0), And(0 < x, x < 1/2))
    $$\left(-\infty < x \wedge x < 0\right) \vee \left(0 < x \wedge x < \frac{1}{2}\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-oo, 0) U (0, 1/2)
    $$x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(0, \frac{1}{2}\right)$$