(x-1)*(2*x+7)*(3*x-1)>0 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: (x-1)*(2*x+7)*(3*x-1)>0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (x - 1)*(2*x + 7)*(3*x - 1) > 0
    $$\left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \left(3 x - 1\right) > 0$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \left(3 x - 1\right) > 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \left(3 x - 1\right) = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \left(3 x - 1\right) = 0$$
    Т.к. правая часть ур-ния равна нулю, то решение у ур-ния будет, если хотя бы один из множителей в левой части ур-ния равен нулю.
    Получим ур-ния
    $$x - 1 = 0$$
    $$2 x + 7 = 0$$
    $$3 x - 1 = 0$$
    решаем получившиеся ур-ния:
    1.
    $$x - 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$x = 1$$
    Получим ответ: x1 = 1
    2.
    $$2 x + 7 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$2 x = -7$$
    Разделим обе части ур-ния на 2
    x = -7 / (2)

    Получим ответ: x2 = -7/2
    3.
    $$3 x - 1 = 0$$
    Переносим свободные слагаемые (без x)
    из левой части в правую, получим:
    $$3 x = 1$$
    Разделим обе части ур-ния на 3
    x = 1 / (3)

    Получим ответ: x3 = 1/3
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = - \frac{7}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = 1$$
    $$x_{2} = - \frac{7}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{3}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{7}{2}$$
    $$x_{3} = \frac{1}{3}$$
    $$x_{1} = 1$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{18}{5}$$
    =
    $$- \frac{18}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left(x - 1\right) \left(2 x + 7\right) \left(3 x - 1\right) > 0$$
    $$\left(- \frac{18}{5} - 1\right) \left(\frac{-36}{5} 1 + 7\right) \left(\frac{-54}{5} 1 - 1\right) > 0$$
    -1357     
    ------ > 0
     125      

    Тогда
    $$x < - \frac{7}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{7}{2} \wedge x < \frac{1}{3}$$
             _____           _____  
            /     \         /
    -------ο-------ο-------ο-------
           x2      x3      x1

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x > - \frac{7}{2} \wedge x < \frac{1}{3}$$
    $$x > 1$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    Or(And(-7/2 < x, x < 1/3), And(1 < x, x < oo))
    $$\left(- \frac{7}{2} < x \wedge x < \frac{1}{3}\right) \vee \left(1 < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    (-7/2, 1/3) U (1, oo)
    $$x \in \left(- \frac{7}{2}, \frac{1}{3}\right) \cup \left(1, \infty\right)$$