|x|>|x+1| (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: |x|>|x+1| (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
    |x| > |x + 1|
    $$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\left|{x}\right| = \left|{x + 1}\right|$$
    Решаем:
    Для каждого выражения под модулем в ур-нии
    допускаем случаи, когда соотв. выражение ">= 0" или "< 0",
    решаем получившиеся ур-ния.

    1.
    $$x \geq 0$$
    $$x + 1 \geq 0$$
    или
    $$0 \leq x \wedge x < \infty$$
    получаем ур-ние
    $$x - x + 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    неверно
    решение на этом интервале:
    Не найдены корни при этом условии

    2.
    $$x \geq 0$$
    $$x + 1 < 0$$
    Неравенства не выполняются, пропускаем

    3.
    $$x < 0$$
    $$x + 1 \geq 0$$
    или
    $$-1 \leq x \wedge x < 0$$
    получаем ур-ние
    $$- x - x + 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    $$- 2 x - 1 = 0$$
    решение на этом интервале:
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$

    4.
    $$x < 0$$
    $$x + 1 < 0$$
    или
    $$-\infty < x \wedge x < -1$$
    получаем ур-ние
    $$- x - - x - 1 = 0$$
    упрощаем, получаем
    неверно
    решение на этом интервале:
    Не найдены корни при этом условии


    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    =
    $$- \frac{3}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$\left|{x}\right| > \left|{x + 1}\right|$$
    $$\left|{- \frac{3}{5}}\right| > \left|{- \frac{3}{5} + 1}\right|$$
    3/5 > 2/5

    значит решение неравенства будет при:
    $$x < - \frac{1}{2}$$
     _____          
          \    
    -------ο-------
           x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    And(-oo < x, x < -1/2)
    $$-\infty < x \wedge x < - \frac{1}{2}$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    (-oo, -1/2)
    $$x \in \left(-\infty, - \frac{1}{2}\right)$$