tan(pi*1/4)+sin(2*x-pi*1/3)>1/2 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: tan(pi*1/4)+sin(2*x-pi*1/3)>1/2 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
       /pi\      /      pi\      
    tan|--| + sin|2*x - --| > 1/2
       \4 /      \      3 /      
    $$\sin{\left (2 x - \frac{\pi}{3} \right )} + \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )} > \frac{1}{2}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (2 x - \frac{\pi}{3} \right )} + \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )} > \frac{1}{2}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (2 x - \frac{\pi}{3} \right )} + \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )} = \frac{1}{2}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$\sin{\left (2 x - \frac{\pi}{3} \right )} + \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )} = \frac{1}{2}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Разделим обе части ур-ния на -1

    Ур-ние превратится в
    $$\cos{\left (2 x + \frac{\pi}{6} \right )} = \frac{1}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    $$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{2} \right )}$$
    Или
    $$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n + \frac{\pi}{3}$$
    $$2 x + \frac{\pi}{6} = \pi n - \frac{2 \pi}{3}$$
    , где n - любое целое число
    Перенесём
    $$\frac{\pi}{6}$$
    в правую часть ур-ния
    с противоположным знаком, итого:
    $$2 x = \pi n + \frac{\pi}{6}$$
    $$2 x = \pi n - \frac{5 \pi}{6}$$
    Разделим обе части полученного ур-ния на
    $$2$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
    $$x_{2} = \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12} + - \frac{1}{10}$$
    =
    $$\frac{\pi n}{2} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{12}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (2 x - \frac{\pi}{3} \right )} + \tan{\left (\frac{\pi}{4} \right )} > \frac{1}{2}$$
       /pi\      /  /pi   pi*n   1 \   pi\      
    tan|--| + sin|2*|-- + ---- - --| - --| > 1/2
       \4 /      \  \12    2     10/   3 /      

           /1   pi       \      
    1 - sin|- + -- - pi*n| > 1/2
           \5   6        /      

    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
     _____           _____          
          \         /
    -------ο-------ο-------
           x1      x2

    Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
    и т.д.
    Ответ:
    $$x < \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{12}$$
    $$x > \frac{\pi n}{2} - \frac{5 \pi}{12}$$
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /pi          3*pi\     /3*pi            \\
    Or|And|-- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
      \   \12           4  /     \ 4              //
    $$\left(\frac{\pi}{12} < x \wedge x < \frac{3 \pi}{4}\right) \vee \left(\frac{3 \pi}{4} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     pi  3*pi     3*pi     
    (--, ----) U (----, oo)
     12   4        4       
    $$x \in \left(\frac{\pi}{12}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup \left(\frac{3 \pi}{4}, \infty\right)$$