x>1/(x-1) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: x>1/(x-1) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
          1  
    x > -----
        x - 1
    $$x > \frac{1}{x - 1}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$x > \frac{1}{x - 1}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$x = \frac{1}{x - 1}$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$x = \frac{1}{x - 1}$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    и -1 + x
    получим:
    $$x \left(x - 1\right) = \frac{x - 1}{x - 1}$$
    $$x^{2} - x = 1$$
    Перенесём правую часть уравнения в
    левую часть уравнения со знаком минус.

    Уравнение превратится из
    $$x^{2} - x = 1$$
    в
    $$x^{2} - x - 1 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -1$$
    $$c = -1$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-1)^2 - 4 * (1) * (-1) = 5

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    $$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
          ___     
    1   \/ 5    1 
    - - ----- - --
    2     2     10

    =
    $$- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{2}{5}$$
    подставляем в выражение
    $$x > \frac{1}{x - 1}$$
          ___                          
    1   \/ 5    1            1         
    - - ----- - -- > ------------------
    2     2     10         ___         
                     1   \/ 5    1     
                     - - ----- - -- - 1
                     2     2     10    

                     1     
          ___   -----------
    2   \/ 5            ___
    - - ----- >   3   \/ 5 
    5     2     - - - -----
         5     2  
                

    Тогда
    $$x < - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} \wedge x < \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /             ___    \     /              ___    \\
      |   |       1   \/ 5     |     |        1   \/ 5     ||
    Or|And|x < 1, - - ----- < x|, And|x < oo, - + ----- < x||
      \   \       2     2      /     \        2     2      //
    $$\left(x < 1 \wedge - \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2} < x\right) \vee \left(x < \infty \wedge \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
           ___              ___     
     1   \/ 5         1   \/ 5      
    (- - -----, 1) U (- + -----, oo)
     2     2          2     2       
    $$x \in \left(- \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{1}{2}, 1\right) \cup \left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}, \infty\right)$$