-1/2<sin(x) (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: -1/2<sin(x) (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
    -1/2 < sin(x)
    $$- \frac{1}{2} < \sin{\left (x \right )}$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$- \frac{1}{2} < \sin{\left (x \right )}$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$- \frac{1}{2} = \sin{\left (x \right )}$$
    Решаем:
    Дано уравнение
    $$- \frac{1}{2} = \sin{\left (x \right )}$$
    - это простейшее тригонометрическое ур-ние
    Разделим обе части ур-ния на -1

    Ур-ние превратится в
    $$\sin{\left (x \right )} = - \frac{1}{2}$$
    Это ур-ние преобразуется в
    $$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
    $$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left (- \frac{1}{2} \right )} + \pi$$
    Или
    $$x = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    $$x = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
    , где n - любое целое число
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
    Данные корни
    $$x_{1} = 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    $$x_{2} = 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{1}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
    =
      pi            1 
    - -- + 2*pi*n - --
      6             10

    =
    $$2 \pi n - \frac{\pi}{6} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$- \frac{1}{2} < \sin{\left (x \right )}$$
              /  pi            1 \
    -1/2 < sin|- -- + 2*pi*n - --|
              \  6             10/

               /1    pi         \
    -1/2 < -sin|-- + -- - 2*pi*n|
               \10   6          /

    но
               /1    pi         \
    -1/2 > -sin|-- + -- - 2*pi*n|
               \10   6          /

    Тогда
    $$x < 2 \pi n - \frac{\pi}{6}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > 2 \pi n - \frac{\pi}{6} \wedge x < 2 \pi n + \frac{7 \pi}{6}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x1      x2
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /-pi           7*pi\     /7*pi            \\
    Or|And|---- < x, x < ----|, And|---- < x, x < oo||
      \   \ 6             6  /     \ 6              //
    $$\left(- \frac{\pi}{6} < x \wedge x < \frac{7 \pi}{6}\right) \vee \left(\frac{7 \pi}{6} < x \wedge x < \infty\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
     -pi   7*pi     7*pi     
    (----, ----) U (----, oo)
      6     6        6       
    $$x \in \left(- \frac{\pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}\right) \cup \left(\frac{7 \pi}{6}, \infty\right)$$