(x^2-4*x-5)*1/(x^2-9*x+14)<=0 (неравенство)

Шаг 1. Введите неравенство

В неравенстве неизвестная

    Укажите решение неравенства: (x^2-4*x-5)*1/(x^2-9*x+14)<=0 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [LaTeX]
      2               
     x  - 4*x - 5     
    ------------- <= 0
     2                
    x  - 9*x + 14     
    $$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 9 x + 14} \leq 0$$
    Подробное решение
    [LaTeX]
    Дано неравенство:
    $$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 9 x + 14} \leq 0$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 9 x + 14} = 0$$
    Решаем:
    Дано уравнение:
    $$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 9 x + 14} = 0$$
    Домножим обе части ур-ния на знаменатели:
    14 + x^2 - 9*x
    получим:
    $$\frac{\left(x^{2} - 4 x - 5\right) \left(x^{2} - 9 x + 14\right)}{x^{2} - 9 x + 14} = 0$$
    $$x^{2} - 4 x - 5 = 0$$
    Это уравнение вида
    a*x^2 + b*x + c = 0

    Квадратное уравнение можно решить
    с помощью дискриминанта.
    Корни квадратного уравнения:
    $$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
    $$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
    где D = b^2 - 4*a*c - это дискриминант.
    Т.к.
    $$a = 1$$
    $$b = -4$$
    $$c = -5$$
    , то
    D = b^2 - 4 * a * c = 

    (-4)^2 - 4 * (1) * (-5) = 36

    Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
    x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

    или
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 5$$
    $$x_{2} = -1$$
    Данные корни
    $$x_{2} = -1$$
    $$x_{1} = 5$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} \leq x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    =
    $$- \frac{11}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\frac{x^{2} - 4 x - 5}{x^{2} - 9 x + 14} \leq 0$$
            2                     
      /-11 \    4*(-11)           
      |----|  - ------- - 5       
      \ 10 /       10             
    ------------------------- <= 0
                            1     
    /      2               \      
    |/-11 \    9*(-11)     |      
    ||----|  - ------- + 14|      
    \\ 10 /       10       /      

     61      
    ---- <= 0
    2511     

    но
     61      
    ---- >= 0
    2511     

    Тогда
    $$x \leq -1$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x \geq -1 \wedge x \leq 5$$
             _____  
            /     \  
    -------•-------•-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    [LaTeX]
    Быстрый ответ
    [LaTeX]
    Or(And(-1 <= x, x < 2), And(5 <= x, x < 7))
    $$\left(-1 \leq x \wedge x < 2\right) \vee \left(5 \leq x \wedge x < 7\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [LaTeX]
    [-1, 2) U [5, 7)
    $$x \in \left[-1, 2\right) \cup \left[5, 7\right)$$