sin(x)-sqrt(3)*cos(x)<1 (неравенство)

В неравенстве неизвестная

    Шаг 1. Введите неравенство

    Укажите решение неравенства: sin(x)-sqrt(3)*cos(x)<1 (множество решений неравенства)

    Решение

    Вы ввели
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
               ___           
    sin(x) - \/ 3 *cos(x) < 1
    $$\sin{\left (x \right )} - \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} < 1$$
    Подробное решение
    [TeX]
    Дано неравенство:
    $$\sin{\left (x \right )} - \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} < 1$$
    Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
    $$\sin{\left (x \right )} - \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} = 1$$
    Решаем:
    $$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
    $$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
    Данные корни
    $$x_{2} = - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
    $$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
    являются точками смены знака неравенства в решениях.
    Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
    $$x_{0} < x_{2}$$
    Возьмём например точку
    $$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
    =
            /      ___\   1 
    - 2*atan\2 + \/ 3 / - --
                          10

    =
    $$- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} - \frac{1}{10}$$
    подставляем в выражение
    $$\sin{\left (x \right )} - \sqrt{3} \cos{\left (x \right )} < 1$$
       /        /      ___\   1 \     ___    /        /      ___\   1 \    
    sin|- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| - \/ 3 *cos|- 2*atan\2 + \/ 3 / - --| < 1
       \                      10/            \                      10/    

         /1          /      ___\\     ___    /1          /      ___\\    
    - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - \/ 3 *cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| < 1
         \10                    /            \10                    /    

    но
         /1          /      ___\\     ___    /1          /      ___\\    
    - sin|-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| - \/ 3 *cos|-- + 2*atan\2 + \/ 3 /| > 1
         \10                    /            \10                    /    

    Тогда
    $$x < - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}$$
    не выполняется
    значит одно из решений нашего неравенства будет при:
    $$x > - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} \wedge x < \frac{\pi}{2}$$
             _____  
            /     \  
    -------ο-------ο-------
           x2      x1
    Решение неравенства на графике
    Быстрый ответ
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
      /   /                    /      ___\\     /    pi         /      ___\    \\
    Or|And\-oo < x, x < -2*atan\2 + \/ 3 //, And|x < --, -2*atan\2 + \/ 3 / < x||
      \                                         \    2                         //
    $$\left(-\infty < x \wedge x < - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}\right) \vee \left(x < \frac{\pi}{2} \wedge - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )} < x\right)$$
    Быстрый ответ 2
    [TeX]
    [pretty]
    [text]
                 /      ___\            /      ___\  pi 
    (-oo, -2*atan\2 + \/ 3 /) U (-2*atan\2 + \/ 3 /, --)
                                                     2  
    $$x \in \left(-\infty, - 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}\right) \cup \left(- 2 \operatorname{atan}{\left (\sqrt{3} + 2 \right )}, \frac{\pi}{2}\right)$$